Классификация потоков сигма-алгебр

§ 4 Классификация потоков s-алгебр.

4.1. Пусть имеется стохастический базис .

Определение. Опциональной (предсказуемой) алгеброй, обозначается через  называется алгебра, порождаемая стохастическими интервалами вида  где — опциональный (предсказуемый) момент остановки.

Из определения следует следующее утверждение.

Теорема 19. .

4.2. Определение. Случайный процесс  со значениями в  называется опциональным (предсказуемым), если отображение  измеримо относительно  алгебры на .

Теорема 20. Предсказуемая алгебра  порождена всеми непрерывными слева согласованными процессами.

Информация в лекции "Принципы построения составных сетей" поможет Вам.

Доказательство. Из теоремы 18 следует, что  порождена всеми процессами вида , где  и , где — любые опциональные марковские моменты, причём Р - п. н. . Ясно, что эти процессы непрерывны слева и согласованы. По­этому для доказательства теоремы достаточно доказать, что каждый непрерывный слева согласованный процесс  является предсказуемым. Обозначим . Процесс - предсказуем и непрерывен слева и поэтому   Р - п. н. Значит  - предсказуемый процесс. Доказательство закончено.

Теорема 21. Опциональная алгебра порождена всеми согласованными процессами, непрерывными справа и имеющими предел слева.

Доказательство. Опциональная алгебра  порождена процессами вида , где  - любые опциональные марковские моменты, причём , которые являются согласованными, непрерывными справа и имеющие левый предел. Поэтому нам осталось доказать, что каждый согласованный, непрерывный справа и имеющий предел слева процесс - опционален.

Пусть  - случайный процесс являющийся таковым. Для каждого, целого положительного числа  построим возрастающую последовательность моментов остановки следующим образом:  для всех , причём если это множество пустое, то полагаем, что . В силу теоремы  - прогрессивно измерим, поэтому  тоже прогрессивно измерим. Значит , где  прогрессивно измерим. Заметим теперь, что - м. о., поэтому из непрерывности справа процесса  получаем, что Р - п. н.  на множестве  (попутно заметим, что непрерывность слева эквивалентна тому, что  для  Р - п. н.). Обозначим для  Процесс - опционален, поскольку он представляет собой сумму счётного числа опциональных процессов. Устремляя теперь  получим, что из непрерывности справа   Р - п. н., т. е. -опциональный процесс. Доказательство закончено.

4.3. Теорема 22. Если процесс  - опционален, то множество  - тонкое (для ).

Доказательство. Пусть  и по индукции определим  Очевидно, что если , то для любых фиксированных . Ясно, что процесс  - непрерывен справа и согласован, a  - момент остановки. Заметим теперь, что множество  Поэтому  где  также является моментом остановки. Заметим, что из опциональности процесса   следует, что Р - п. н.  при . Поэтому . Доказательство закончено.