Вещественное евклидово пространство
Вещественное евклидово пространство
Определение 1.5 Вещественное линейное пространство 
называется вещественным евклидовым пространством, если в нем определена операция скалярного умножения векторов, сопоставляющая любой паре векторов 
вещественное число, называемое скалярным произведением 
на 
и обозначаемое
, так, что выполняются следующие тождества:
1) 
(коммутативность скалярного умножения);
2) 
(дистрибутивность скалярного умножения относительно сложения векторов);
3) 
(для любого вещественного 
);
4) 
, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда 
.
В дальнейшем мы будем рассматривать только вещественное евклидово пространство, называя его просто евклидовым пространством.
Рекомендуемые материалы
Докажем некоторые следствия из определения евклидова пространства.
1) 
Действительно, 
.
2) 
Имеем: 
3) Неравенство Коши-Буняковского:
Вычислим для произвольного вещественного следующее произведение:
Рассматривая последнее выражение как утверждение о неотрицательности квадратного трехчлена от , получим, что дискриминант неположителен:
В евклидовом пространстве введем понятие нормы вектора , обозначаемой 
. По определению
С использованием нормы неравенство Коши-Буняковского перепишется так:
Норма вектора обладает также следующими свойствами:
1) 
, причем равенство имеет место только для нулевого вектора.
2) 
3) 
(неравенство треугольника)
Последнее неравенство представляет собой аналог (и обобщение) известного из школьной геометрии свойства сторон треугольника, поскольку - как нетрудно понять - норма геометрического вектора - это его длина.
С помощью нормы мы можем ввести понятие расстояния между векторами евклидова пространства: по определению
Легко могут быть доказаны следующие свойства расстояния:
1) 
, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда 
;
2) 
3) для любых трех векторов 
(это неравенство также называется неравенством треугольника).
Примеры. 1) В пространстве 
геометрических векторов скалярное умножение вводится обычным образом:
, где
- угол между векторами и .
Все свойства (1)-(4) легко проверяются.
2) В арифметическом векторном пространстве 
скалярное произведение векторов 
и 
вводится формулой:
Доказательство свойств предоставляется читателю.
3) В пространстве 
функций, непрерывных на отрезке, определим скалярное произведение векторов (функций) следующим образом:
Все свойства скалярного произведения в данном случае легко получаются из известных свойств определенного интеграла. В частности, последнее свойство (неотрицательность скалярного произведения вектора на себя) следует из того, что интеграл от неотрицательной функции неотрицателен).
Интересны в этом пространстве выражение для нормы и вид неравенства Коши-Буняковского:
Обратите внимание на лекцию "Категории помещений и зданий".
Последнее неравенство часто используется для оценки определенных интегралов.
Расстояние между функциями в вычисляется как корень квадратный от интеграла от квадрата разности функций:
Сам стоящий под корнем интеграл называется среднеквадратическим отклонением между функциями 
и 
.
