Преобразования базисов

1.4. Преобразования базисов

Пусть задан в линейном пространстве  некоторый базис . Тогда любой вектор  может быть разложен единственным образом по базису (материал первого семестра!):

Введем новый базис . В этом базисе тот же самый вектор  будет иметь уже другие координаты:

Возникает задача: связать между собой координаты произвольного вектора в двух различных базисах. Эту задачу будем называть задачей преобразования базисов.

Чтобы технически удобно решить эту задачу и подобные ей, введем в рассмотрение новый объект - векторную матрицу-строку. Это обычная матрица-строка, но ее элементами являются не числа, а векторы (из некоторого линейного пространства). Любую систему векторов можно задать в виде векторной матрицы строки.

Для векторной матрицы-строки  определим умножение ее справа на обычную числовую матрицу  размера  для данного , равного числу векторов строки и произвольного  следующим образом:

Рекомендуемые материалы

Таким образом, по определению, результатом умножения векторной матрицы строки справа на числовую матрицу будет новая векторная матрица-строка, число компонент которой равно числу столбцов матрицы , и каждая компонента вычисляется как умножение векторной строки на соответствующий столбец числовой матрицы по тому же правилу, что и в обычном матричном умножении, но только вместо числового умножения используется умножение вектора на число.

Легко доказать (по аналогии с доказательством ассоциативности умножения числовых матриц) следующее равенство:

 (каковы бы ни были числовые матрицы  и , произведение которых существует).

С использованием векторных матриц-строк удобно записывать разложение произвольных систем векторов по данному базису.

Пусть дан базис (в виде векторной матрицы-строки)  и система векторов  . Запишем разложение векторов системы  по базису :

Или, с использованием векторных матриц-строк:

Нетрудно сообразить, что j-ый столбец матрицы  - это столбец координат вектора  в базисе .

Утверждение 1.3  Если система  линейно независима, то столбцы матрицы  линейно независимы.

Доказательство. Предположим противное - тогда найдутся числа , не все равные нулю, такие, что

,

или, покомпонентно:

С учетом этих равенств рассмотрим линейную комбинацию

Подставляя вместо каждого вектора , его разложение по базису , получим:

Итак, мы получили нетривиальную линейную комбинацию линейно независимых векторов, равную нулю, что невозможно.

Можно заметить, что, проводя рассуждения доказательства утверждения 1.3 в обратном порядке, получим, что верно и обратное: если столбцы матрицы линейно независимы, то система векторов линейно независима. Следовательно, для распознавания линейной независимости произвольной системы векторов конечномерного линейного пространства достаточно составить матрицу из столбцов координат векторов системы в произвольном фиксированном базисе и доказать линейную независимость этих столбцов, используя, например, метод элементарных преобразований (т.е., вычислив ранг составленной матрицы).           

Для одного вектора  его разложение по базису задается в виде:

, где - столбец координат вектора   в базисе .

Вернемся к задаче преобразования базисов. Запишем разложение нового («штрихованного») базиса в старом (не «штрихованном»):

Матрица  (квадратная порядка ) называется матрицей перехода от базиса  к базису . Каждый ее столбец есть, как мы только что доказали, столбец координат соответствующего вектора нового базиса в старом базисе. В силу утверждения 1.3 столбцы матрицы линейно независимы, тем самым ее ранг равен , и матрица является невырожденной.

Тогда для разложения вектора  в новом базисе получим:

Отсюда по теореме о единственности разложения вектора по базису (первый семестр!)

Так как матрица  не вырождена, то

Итак, чтобы вычислить столбец координат вектора в новом базисе, достаточно матрицу, обратную к матрице перехода, умножить на столбец координат вектора в старом базисе.

По контрасту заметим, что для того, чтобы получить сам новый базис (как векторную матрицу-строку), нужно старый базис умножить на саму матрицу перехода.

Таким образом, можно заметить, что сами базисы и координаты векторов в базисах при переходе от базиса к базису перевычисляются «зеркально» по отношению к друг другу.

Утверждение 1.4  1) Если - матрица перехода от базиса к базису , то обратная матрица  является матрицей перехода от базиса  к базису .

2)  Если - матрица перехода от базиса к базису , а - матрица перехода     от базиса к базису , то - матрица перехода от базиса  к базису .

Схематически:

Люди также интересуются этой лекцией: Классификация программных систем.

Доказательство. Упражнение.

Со сложными преобразованиями базисов связана следующая задача: пусть векторы базисов и заданы своими координатами в некотором базисе (который сам может быть явно и не определен). Требуется найти матрицу перехода от к .

Составляем матрицы перехода от ки от к (по столбцам координат векторов базисов и ). Пусть это будут матрицы и  соответственно. Тогда используя утверждение 1.4, легко получим (см. рис. 1.2):

рис. 1.2