Преобразования базисов
1.4. Преобразования базисов
Пусть задан в линейном пространстве некоторый базис . Тогда любой вектор может быть разложен единственным образом по базису (материал первого семестра!):
Введем новый базис . В этом базисе тот же самый вектор будет иметь уже другие координаты:
Возникает задача: связать между собой координаты произвольного вектора в двух различных базисах. Эту задачу будем называть задачей преобразования базисов.
Чтобы технически удобно решить эту задачу и подобные ей, введем в рассмотрение новый объект - векторную матрицу-строку. Это обычная матрица-строка, но ее элементами являются не числа, а векторы (из некоторого линейного пространства). Любую систему векторов можно задать в виде векторной матрицы строки.
Для векторной матрицы-строки определим умножение ее справа на обычную числовую матрицу размера для данного , равного числу векторов строки и произвольного следующим образом:
Рекомендуемые материалы
Таким образом, по определению, результатом умножения векторной матрицы строки справа на числовую матрицу будет новая векторная матрица-строка, число компонент которой равно числу столбцов матрицы , и каждая компонента вычисляется как умножение векторной строки на соответствующий столбец числовой матрицы по тому же правилу, что и в обычном матричном умножении, но только вместо числового умножения используется умножение вектора на число.
Легко доказать (по аналогии с доказательством ассоциативности умножения числовых матриц) следующее равенство:
(каковы бы ни были числовые матрицы и , произведение которых существует).
С использованием векторных матриц-строк удобно записывать разложение произвольных систем векторов по данному базису.
Пусть дан базис (в виде векторной матрицы-строки) и система векторов . Запишем разложение векторов системы по базису :
Или, с использованием векторных матриц-строк:
Нетрудно сообразить, что j-ый столбец матрицы - это столбец координат вектора в базисе .
Утверждение 1.3 Если система линейно независима, то столбцы матрицы линейно независимы.
Доказательство. Предположим противное - тогда найдутся числа , не все равные нулю, такие, что
,
или, покомпонентно:
С учетом этих равенств рассмотрим линейную комбинацию
Подставляя вместо каждого вектора , его разложение по базису , получим:
Итак, мы получили нетривиальную линейную комбинацию линейно независимых векторов, равную нулю, что невозможно.
Можно заметить, что, проводя рассуждения доказательства утверждения 1.3 в обратном порядке, получим, что верно и обратное: если столбцы матрицы линейно независимы, то система векторов линейно независима. Следовательно, для распознавания линейной независимости произвольной системы векторов конечномерного линейного пространства достаточно составить матрицу из столбцов координат векторов системы в произвольном фиксированном базисе и доказать линейную независимость этих столбцов, используя, например, метод элементарных преобразований (т.е., вычислив ранг составленной матрицы).
Для одного вектора его разложение по базису задается в виде:
, где - столбец координат вектора в базисе .
Вернемся к задаче преобразования базисов. Запишем разложение нового («штрихованного») базиса в старом (не «штрихованном»):
Матрица (квадратная порядка ) называется матрицей перехода от базиса к базису . Каждый ее столбец есть, как мы только что доказали, столбец координат соответствующего вектора нового базиса в старом базисе. В силу утверждения 1.3 столбцы матрицы линейно независимы, тем самым ее ранг равен , и матрица является невырожденной.
Тогда для разложения вектора в новом базисе получим:
Отсюда по теореме о единственности разложения вектора по базису (первый семестр!)
Так как матрица не вырождена, то
Итак, чтобы вычислить столбец координат вектора в новом базисе, достаточно матрицу, обратную к матрице перехода, умножить на столбец координат вектора в старом базисе.
По контрасту заметим, что для того, чтобы получить сам новый базис (как векторную матрицу-строку), нужно старый базис умножить на саму матрицу перехода.
Таким образом, можно заметить, что сами базисы и координаты векторов в базисах при переходе от базиса к базису перевычисляются «зеркально» по отношению к друг другу.
Утверждение 1.4 1) Если - матрица перехода от базиса к базису , то обратная матрица является матрицей перехода от базиса к базису .
2) Если - матрица перехода от базиса к базису , а - матрица перехода от базиса к базису , то - матрица перехода от базиса к базису .
Схематически:
Люди также интересуются этой лекцией: Классификация программных систем.
Доказательство. Упражнение.
Со сложными преобразованиями базисов связана следующая задача: пусть векторы базисов и заданы своими координатами в некотором базисе (который сам может быть явно и не определен). Требуется найти матрицу перехода от к .
Составляем матрицы перехода от ки от к (по столбцам координат векторов базисов и ). Пусть это будут матрицы и соответственно. Тогда используя утверждение 1.4, легко получим (см. рис. 1.2):
рис. 1.2