Подпространства и линейные оболочки
Подпространства и линейные оболочки
Определение 1.3 Подмножество линейного пространства называется подпространством пространства , если вместе с любыми двумя векторами оно содержит их сумму, а вместе с любым вектором - результат умножения его на любое число.
Утверждение 1.1 Подмножество линейного пространства является подпространством тогда и только тогда, когда для любой системы векторов в оно содержит их произвольную линейную комбинацию.
Доказательство. Упражнение.
Примеры. 1) В пространстве всех геометрических векторов подмножество всех векторов, параллельных некоторой плоскости, будет подпространством, а подмножество всех векторов, концы которых лежат на некоторой плоскости, не будет подпространством.
2) Множество всех решений однородной линейной системы есть, как мы видели в первом семестре, векторное пространство, которое будет ни чем иным, как подпространством арифметического пространства (где в данном случае есть число неизвестных системы).
3) В пространстве рассмотрим подмножество всех многочленов степени, не превосходящей некоторого фиксированного . Сумма любых двух таких многочленов снова есть многочлен из заданного множества, равно как и результат умножения такого многочлена на произвольное число остается в данном множестве многочленов. Следовательно, множество многочленов степени не выше является подпространством пространства . Можно доказать, что система многочленов является базисом этого подпространства (упражнение!), и, таким образом, размерность данного подпространства многочленов равна . Мы имеем здесь, стало быть, пример конечномерного подпространства бесконечномерного линейного пространства.
Определение 1.4 Линейной оболочкой системы векторов некоторого линейного пространства называется множество всех линейных комбинаций векторов системы.
Линейную оболочку будем обозначать . По определению тогда
Рекомендуемые материалы
В первом семестре мы определили понятие ранга системы векторов как наибольшего числа линейно независимых векторов системы. Нетрудно доказать следующий результат:
Лекция "Решение проблемы" также может быть Вам полезна.
Утверждение 1.2 Ранг системы векторов равен размерности ее линейной оболочки.
Примеры. 1) В пространстве геометрических векторов возьмем систему векторов, состоящую из некоторых двух ненулевых и неколлинеарных векторов . Тогда (для произвольных вещественных и ). Геометрически это множество векторов, параллельных плоскости векторов (любые два неколлинеарных вектора могут быть «положены» в некоторую плоскость, определенную однозначно с точностью до параллельного
переноса) - см. рис. 1.1.
Рис. 1.1
2) Пространство многочленов, рассмотренное выше, есть линейная оболочка системы степенных функций .