Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования

Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования

Определение 1.26   Квадратная невырожденная матрица называется ортогональной, если обратная к ней совпадает с транспонированной.

Роль ортогональных матриц в теории евклидовых пространств проясняет следующая теорема:

Теорема 1.15  Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда она является матрицей перехода от одного ортонорма некоторого евклидова пространства к другому.

Доказательство. Пусть   - ортогональная матрица -ого порядка. Докажем, что ее столбцы образуют ортонормированный базис в .

Вычислим скалярное произведение -ого столбца на -ый:

,

так как транспонированный -ый столбец есть -ая строка транспонированной матрицы, совпадающей с обратной.

Рассматривая столбцы матрицы  как столбцы координат в каноническом базисе, получим, что матрица  есть матрица перехода от одного ортонорма (канонического базиса) в  к другому (состоящему из столбцов данной матрицы).

Рекомендуемые материалы

Обратно, пусть  и  - два ортонорма в -мерном евклидовом пространстве, причем

.

Вычислим матрицу Грама для базиса (см. п.1.6):

,

так как матрица Грама любого ортонорма единичная. Отсюда, поскольку матрица , как матрица перехода, обратима, .

Теорема доказана.

Определение 1.27  Линейный оператор, действующий в конечномерном евклидовом пространстве, называется ортогональным, если он задается (в каком-то ортонорме) ортогональной матрицей.

Таким образом, по определению, оператор  ортогонален, если в некотором ортонорме он задан ортогональной матрицей:

,

где

.

Легко доказать, что в любом ортонорме матрица ортогонального оператора ортогональна.

В самом деле, если ортонорм , то поскольку матрица  ортогональна (теорема 1.15), то

Точно так же доказывается, что

Из доказанного сразу ( с учетом утверждения (6) теоремы 1.5 и следствия 1.4) вытекает:

Утверждение 1.21  Ортогональный оператор обратим, причем обратный к нему совпадает с сопряженным.

Теорема 1.16  Следующие условия равносильны:

1)  - ортогональный оператор,

2)  для любых векторов  

3)  .

Доказательство. Из условия (1) следует условие (3) (утверждение 1.21), а из этого последнего - условие (2):

Осталось доказать, что из (2) следует (1). Для этого докажем, что матрица(в произвольном ортонорме) оператора , сохраняющего скалярное произведение, обратима. Вычислим ядро оператора . Пусть для ненулевого вектора  . Тогда , что невозможно. Итак, , т.е. из  следует . Это значит, что система  имеет только нулевое решение, откуда (первый семестр!) , т.е. матрица  обратима. Тогда из условия сохранения скалярного произведения получим:

Так как это имеет место для любых векторов , то , а так как матрица  обратима, то , и оператор  является ортогональным.

Теорема доказана.

            Замечание. Доказав тривиальность ядра оператора  , мы могли бы также сослаться на утверждение 1.7, замечания, сделанные в конце п. 1.8, и на утверждение (6) теоремы 1.5.

В силу этой теоремы можно ортогональный оператор определить как оператор, сохраняющий скалярное произведение, или как оператор, у которого обратный совпадает с сопряженным.

Отсюда, в частности, следует, что самосопряженный ортогональный оператор обратен себе самому.

Ортогональные операторы (их называют также ортогональными преобразованиями) играют в линейной алгебре и ее приложениях очень важную роль. В заключение этого пункта мы дадим характеристику всех ортогональных матриц второго порядка.

Пусть матрица

ортогональна. Тогда должно выполняться:

Первая строчка из написанных трех следует из того, что столбцы ортогональной матрицы ортонормированны; вторая и третья - из условия равенства обратной и транспонированной матриц.

Из первых двух строк получаем:

1 случай: .

При  получаем матрицу

,

причем , т.е., вся совокупность матриц в этом случае описывается так:

                                                       (1)

Если же , то поскольку , мы можем положить

для некоторого .

Матрица  может быть тогда записана в виде:

                                               (2)

2 случай: .

При  получаем снова матрицу вида (1).

При  аналогично предыдущему придем к матрице:

                                               (3)

Остановимся на геометрической интерпретации выведенных матриц.

Матрица вида (1) есть либо матрица тождественного преобразования плоскости (точнее, множества геометрических векторов, лежащих в некоторой плоскости), либо «отражения» одной из осей, либо одновременного отражения обеих осей - поворота на 180°).

Матрица вида (2) есть матрица поворота на угол  с последующим отражением одной из осей.

28 Мутанты и киборги постмодерна - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

Матрица (3) есть классическая матрица поворота на угол . Обратная к ней матрица

                                              

есть, естественно, матрица поворота на угол .

В частности, если , то матрица

 

является обратной к себе самой.