Ряды в комплексной области
§6. Ряды в комплексной области.
Существование понятия предела последовательности (§5) позволяет рассматривать ряды в комплексной области (как числовые, так и функциональные). Стандартно определяются частичные суммы, абсолютная и условная сходимость числовых рядов. При этом сходимость ряда предполагает, на самом деле, сходимость двух рядов, один из которых состоит из действительных, а другой из мнимых частей членов ряда: 
Например, ряд 
сходится абсолютно, а ряд 
− расходится (за счет
мнимой части).
Если действительная и мнимая части ряда сходятся абсолютно, то абсолютно сходится и сам
ряд, т.к. 
. Верно и обратное: из абсолютной сходимости комплексного ряда
следует абсолютная сходимость действительной и мнимой части: 
Аналогично функциональным рядам в действительной области определяются комплексные
функциональные ряды, область их поточечной и равномерной сходимости. Без изменения
формулируется и доказывается признак Вейерштрасса равномерной сходимости. Сохраняются
Рекомендуемые материалы
все свойства равномерно сходящихся рядов.
При исследовании функциональных рядов особый интерес представляют собой степенные
ряды: 
, или после замены 
: 
. Как и в случае действительной
переменной верна теорема Абеля: если степенной ряд (последний) сходится в т. ζ0 ≠ 0, то он сходится, и притом абсолютно, для любого ζ , удовлетворяющего неравенству 
Таким образом, область сходимости D этого степенного ряда представляет собой круг радиуса R с центром в начале координат, где R − радиус сходимости − точная верхняя грань всех точек сходимости ζ0 . (Откуда и появился этот термин). Исходный степенной ряд будет, в свою очередь, сходиться в круге радиуса R с центром в т. z0 . При этом, в любом замкнутом круге 
степенной ряд сходится абсолютно и равномерно (последнее утверждение сразу следует из признака Вейерштрасса).
Пример. Найти круг сходимости и исследовать на сходимость в тт. z1 и z2 степенного ряда 
{ 
область сходимости − круг радиуса R = 2 с центром в т. z0 = 1 − 2i . 
z1 лежит вне круга сходимости и ряд расходится. При 
, т.е. точка лежит на границе
круга сходимости. Подставим ее в исходный ряд: 
− ряд сходится условно по признаку Лейбница. }
Если во всех граничных точках ряд сходится абсолютно или расходится по необходимому признаку, то это можно установить сразу для всей границы. Для этого следует подставить в ряд
Лекция "Глобальная сеть Internet" также может быть Вам полезна.
из модулей слагаемых значение R вместо выражения 
и исследовать полученный ряд.
Пример. Рассмотрим ряд из последнего примера, изменив один сомножитель: 
Область сходимости ряда осталась прежней: 
Подставим в ряд из модулей
полученный радиус сходимости: 
Если обозначить сумму ряда через f(z), т.е. f(z) = (естественно, в
области сходимости), то этот ряд называют рядом Тейлора функции f(z) или разложением функции f(z) в ряд Тейлора. В частном случае, при z0 = 0, ряд называется рядом Маклорена функции f(z) .
