Что понимают под законом больших чисел и что является его основным содержанием. Докажите неравенства Чебышева
Что понимают под законом больших чисел и что является его основным содержанием? Докажите неравенства Чебышева.
Первое неравенство Чебышева. Для каждой неотрицательной случайной величины X, имеющей математическое ожидание MX, при любом e>0 справедливо соотношение: .
Доказательство проведем для непрерывной случайной величины X с плотностью распределения p(x). Поскольку случайная величина X является неотрицательной, то . Так как подынтегральное выражение неотрицательно, то при уменьшении области интегрирования интеграл может только уменьшиться. Поэтому . Заменяя в подынтегральном выражении сомножитель x на e, имеем: . Последний интеграл представляет собой вероятность события X ³ e, и, значит, MX ³ eP{X³e}, откуда и вытекает первое неравенство Чебышева. Для дискретной случайной величины интеграл заменяется суммой.
Второе неравенство Чебышева. Для каждой случайной величины X, имеющей дисперсию DX=s2, при любом e>0 справедливо: .
Доказательство. Воспользуемся первым неравенством Чебышева. Применяя к случайной величине Y=(X-MX)2 это неравенство, в котором e заменено на e2, получаем: , что и доказывает второе неравенство Чебышева.
Пусть X1, X2, …, Xn, … - последовательность случайных величин, имеющих математические ожидания mi=MXi. Последовательность X1, X2, …, Xn, … случайных величин удовлетворяет закону больших чисел (слабому), если для любого e>0: . Иными словами, выполнение закона больших чисел отражает предельную устойчивость средних арифметических случайных величин: при большом числе испытаний они практически перестают быть случайными и совпадают со своими средними значениями.