Разделение опытов факторного эксперимента на блоки

Глава 12  Разделение опытов на блоки и неполные планы

Опыты многофакторных экспериментов по двухуровневым планам необходимо иногда выполнять блоками по несколько опытов. Это необходимо делать в связи с особенностями объектов экспериментирования, а также используемого оборудования и участвующего в проведении эксперимента персонала. Кроме этого эксперименты по полным планам часто содержат избыточное число опытов и поэтому в многофакторном экспериментировании используют неполные планы.

12.1. Разделение опытов факторного эксперимента на блоки

В эксперименте по плану 2³ желательно использовать одну партию исходного вещества для выполнения восьми опытов и все опыты выполнить в один день. Однако одной партии исходного вещества хватает на выполнение только четырёх опытов и в один день можно поставить только четыре опыта. В этом случае целесообразно использовать изложенную в разделе 10.3 концепцию разделения на блоки. Чтобы нейтрализовать воздействие на отклик возможного различия между партиями исходного вещества и условий проведения опытов в разные дни на Рис.12.1.1 показан факторный эксперимент, выполненный по плану 2³ двумя блоками по четыре опыта. Это достигалось тем, что в опытах под номерами 1, 4, 6 и 7 с соответствующими результатами у₁, у₄, у₆ и у₇ использовалась первая партия исходного вещества и они выполнялись в первый день, а в опытах с номерами 2, 3, 5 и 8 с соответствующими результатами у₂, у₃, у₅ и у₈ использовалась вторая партия исходного вещества и они выполнялись во второй день.

Рис.12.1.1. Разделение опытов эксперимента по плану 2³ на два блока по 4 опыта.

Опыты эксперимента по плану 2³ делятся на два блока путём размещения в одном блоке всех опытов, в которых фактор х₁₂₃ трёхфакторного взаимодействия находится на уровне –1, а в другом блоке - остальных опытов, в которых фактор х₁₂₃ находится на уровне +1. Такое разделение показано в таблице 12.1.1.

Для оправдания концепции разделения на блоки, допустим, что, из-за отличия второй партии исходного вещества от первой и других условий проведения опытов во второй день, все результаты опытов второго блока увеличились на h. Тогда, при любом значении h, это отличие результатов опытов второго блока окажет влияние только на оценку воздействия фактора х₁₂₃. Оно не повлияет на результаты оценки воздействий других факторов, так как при вычислении результатов оценки воздействий факторов х₁, х₂, х₃ и факторов х₁₂, х₁₃ и х₂₃ их взаимодействий увеличение на h значений у₂, у₃, у₅ и у₈ переменных отклика сокращается при суммировании по формулам (11.2.15) - (11.2.20). Например, если в формулу (11.2.15) подставить изменённые значения у₂=у₂+h, у₃=у₃+h, у₅=у₅+h и у₈=у₈+h переменных отклика, то получаем

А=(–у₁+у₂+h–у₃–h+у₄–у₅–h+у₆–у₇+у₈+h)/4=(–у₁+у₂–у₃+у₄–у₅+у₆–у₇+у₈)/4.           (12.1.1)

Рекомендуемые материалы

Таблица 12.1.1. Разделение опытов эксперимента по плану 2³ на два блока

Рассмотрим, как это происходит на Рис.12.1.1. Все три результата оценки воздействий факторов находятся с использованием контрастов значений переменных отклика и усреднениями на противоположных сторонах куба. Но на каждой стороне куба присутствуют два значения переменных отклика из каждого блока, так что любое систематическое отличие значений переменных отклика в одном блоке, полученное в результате другой партии вещества и в другой день, устраняется из контрастов при оценке воздействий факторов, как показано в выражении (12.1.1).

При оценке воздействия от взаимодействия двух факторов х₁ и х₂ по формуле (11.2.19), если подставить изменённые значения у₂=у₂+h, у₃=у₃+h, у₅=у₅+h и у₈=у₈+h переменных отклика, то получаем

АВ=(у₁–у₂–h–у₃–h+у₄+у₅+h–у₆–у₇+у₈+h)/4=(у₁–у₂–у₃+у₄+у₅–у₆–у₇+у₈)/4. (12.1.2)

На Рис.12.1.1 используемые для расчёта результата оценки воздействия от взаимодействия двух факторов значения переменных отклика расположены в вершинах прямоугольников, получающихся при сечении куба по диагоналям противоположных сторон. Каждый такой прямоугольник содержит по два значения переменных отклика из каждого блока. Поэтому, как показано в (12.1.2), любое систематическое отличие значений переменных отклика в одном блоке из-за другой партии исходного вещества и условий другого дня устраняется из контрастов при оценке воздействий от двухфакторных взаимодействий.

Таким образом, достигается устранение любого систематического различия между блоками. Но, чтобы воспользоваться этим значительным преимуществом, необходимо немногим пожертвовать. При данном разделении на блоки воздействия трёхфакторного взаимодействия и любого различия между блоками сознательно совмещаются, то есть становятся неразличимы. Поэтому невозможно оценить воздействие трёхфакторного взаимодействия отдельно от воздействия блоков. Однако часто, но не всегда (см. раздел 11.3), воздействием трёхфакторного взаимодействия можно пренебречь.

Кроме этого, в разделе 11.2 показано, что на основе факторного план 2^p строится матрица Адамара, в которой все строки и столбцы ортогональны между собой. Важным следствием ортогональности столбцов в рассматриваемой ситуации является то, что совмещение воздействий от трёхфакторного взаимодействия и нового фактора блоков не меняет результатов оценки воздействий ни одного из других факторов и их взаимодействий.

Неоднозначность разделения на блоки

В примере с разделением на блоки опытов эксперимента по плану 2³ обозначим х₄ фактор блоков. Тогда получается, что в этом эксперименте рассматриваются четыре фактора. В нём фактор х₄ обладает специальным свойством. Он не взаимодействует с остальными факторами. В матрице модели эксперимента уровни нового фактора х₄ в точности совпадают с уровнями фактора х₁₂₃ взаимодействия трёх исходных факторов и деление на блоки выполняется путём приравнивания вектор-столбцов х₄=х₁₂₃ уровней факторов х₄ и х₁₂₃. Эта идея может быть использована для получения более сложных разделений опытов на блоки. Подобные идеи используются для разделения на блоки опытов экспериментов выполняемых и по дробным факторным планам.

Для разделения опытов эксперимента на два блока воздействие фактора блоков обычно совмещают с воздействием от взаимодействия всех исходных факторов. Но как лучше разделить опыты эксперимента по плану 2³ на четыре блока по два опыта, чтобы это меньше всего сказалось на результатах оценки воздействий исходных факторов?

Для создания четырёх блоков необходимы два фактора блоков. Обозначим эти факторы х₄ и х₅. Сначала выглядит разумным совместить воздействие фактора х₄ блоков с воздействием фактора х₁₂₃ трёхфакторного взаимодействия и воздействие фактора х₅ блоков, например, с воздействием фактора х₂₃ двухфакторного взаимодействия. Тогда опыты эксперимента по плану 2³ разделяются на блоки в зависимости от уровней факторов х₄ и х₅. Это разделение делается по следующей схеме:

По ней опыты, в которых факторы х₄ и х₅ соответственно на уровнях –1 и –1, попадают в блок I, другие опыты, где эти факторы блоков соответственно на уровнях –1 и +1, попадают в блок II, следующие опыты, в которых эти факторы соответственно на уровнях +1 и –1, попадают в блок III и наконец опыты, в которых факторы блоков соответственно на уровнях +1 и +1, попадают в блок IV. Такое разделение опытов на четыре блока показано в таблице 12.1.2.

Таблице 12.1.2. Нежелательное разделение опытов по плану 2³ на блоки по 2 опыта

Однако из-за совмещения воздействий факторов х₄ и х₅ блоков именно с воздействиями факторов х₁₂₃ и х₂₃ взаимодействий получается серьёзный недостаток разделения опытов на блоки. Между четырьмя блоками существуют три степени свободы [Box с соавт. (2005) стр. 213]. С каким контрастом связана третья степень свободы? Третью степень свободы обеспечивает фактор х₄₅ взаимодействия факторов х₄ и х₅ блоков.

Простые вычисления показывают последствия любого предлагаемого разделения опытов на блоки. Так, произведение Адамара любого вектор-столбца уровней из матрицы Адамара на самого себя даёт вектор-столбец 1. Поэтому можно записать

х₁◦х₁=х₂◦х₂=х₃◦х₃=х₄◦х₄=х₅◦х₅=1.                                        (12.1.3)

Кроме этого, произведение Адамара любого вектор-столбца х₁, х₂, ... уровней факторов на вектор 1 оставляет эти векторы неизменными, например, 1◦х₃=х₃.

В только что рассмотренном разделении на блоки фактор х₄ имеет столбец уровней фактора х₁₂₃ трёхфакторного взаимодействия и фактор х₅ имеет столбец уровней фактора х₂₃ двухфакторного взаимодействия. Таким образом для факторов х₄ и х₅ имеем вектор-столбцы х₄=х₁₂₃=х₁◦х₂◦х₃ и х₅=х₂₃=х₂◦х₃ уровней. Вектор х₄₅ уровней фактора х₄₅ взаимодействия факторов х₄ и х₅ находится в виде

х₄₅=х₄◦х₅=х₁◦х₂◦х₃◦х₂◦х₃=х₁◦х₂◦х₂◦х₃◦х₃=х₁◦1◦1=х₁.

Отсюда видно, что вектор х₄₅ равен вектору х₁. Поэтому вычисляемые на основе равных векторов результаты оценки воздействий фактора х₄₅ двухфакторного взаимодействия и фактора х₁ при выполненном разделении на блоки получаются совмещёнными друг с другом, что и является недостатком такого разделения.

Лучшее разделение на блоки получается посредством совмещения воздействий двух факторов х₄ и х₅ блоков с воздействиями любых двух двухфакторных взаимодействий исходных факторов х₁, х₂ и х₃. В этом случае воздействие фактора х₄₅ двухфакторного взаимодействия совмещается c воздействием третьего двухфакторного взаимодействия факторов х₁, х₂ и х₃. Таким образом, принимая вектор уровней фактора х₄ равным вектору уровней фактора х₁₂, а вектор уровней фактора х₅ равным вектору уровней фактора х₁₃, получаем х₄=х₁₂=х₁◦х₂ и х₅=х₁₃=х₁◦х₃. Результат оценки воздействия от взаимодействия факторов х₄ и х₅ получается совмещённым с результатом оценки воздействия от взаимодействия факторов х₂ и х₃, так как х₄◦х₅=х₁◦х₁◦х₂◦х₃=х₂◦х₃.

В итоге результаты оценки воздействий факторов х₄ и х₅ блоков и фактора х₄₅ их взаимодействия совмещаются с результатами оценки воздействий факторов х₁₂, х₁₃ и х₂₃ двухфакторных взаимодействий факторов х₁, х₂ и х₃, а не с результатами оценки воздействий самих этих факторов. Так разделённые на четыре блока опыты эксперимента показаны в таблице 12.1.3. Здесь, как и ранее, блоки получены в виде пар опытов, в которых факторы х₄ и х₅ имеют сочетания уровней –1 –1, –1 +1, +1 –1 и +1 +1.

Таблица 12.1.3. Желательное разделение опытов по плану 2³ на блоки по 2 опыта.

В приведённом примере входящие в каждый блок два опыта имеют факторы на взаимно противоположных уровнях. В них плюсовые и минусовые уровни первого опыта являются в точности с обратными знаками для второго опыта. Говорят, что каждый блок состоит из пары опытов с обратными знаками уровней факторов, например, в блоке I знаки плюс и минус уровней факторов для пары опытов +1 –1 –1 и –1 +1 +1. Опыты факторного эксперимента по любому плану 2^р могут быть разделены этим методом на 2^p–1 блоков по 2 опыта. Такие разделения на блоки оставляют результаты оценки воздействий самих p факторов не совмещёнными с результатами оценки воздействий факторов блоков. Однако все результаты оценки воздействий двухфакторных взаимодействий совмещены с результатами оценки воздействий факторов блоков.

Разделение опытов на блоки при большом числе факторов

Факторный план 2³ использовался для иллюстрации разделения на блоки опытов посредством совмещения воздействий факторов блоков и факторных взаимодействий. Этот метод разделения опытов на блоки применим также и для планов с большим числом опытов. Разделение опытов на блоки необходимо делать так, чтобы воздействия факторов блоков совмещались с воздействиями от взаимодействий наибольших чисел факторов. В таблице 12.1.4 даётся перечень полезных разделений опытов двухуровневых планов с числом факторов от 3 до 6 [Box с соавт. (2005) стр. 221].

Таблица 12.1.4. Разделение на блоки опытов факторных планов 2³, 2⁴, 2⁵ и 2⁶

Для пояснения как пользоваться этой таблицей, рассмотрим содержащий 64 опыта факторный план 2⁶. Опыты эксперимента по плану 2⁶ должны выполняться в случайной последовательности. Однако может лучше выполнять этот эксперимент серией блоков в случайной последовательности? Положим, необходимо разделить опыты эксперимента по такому плану на восемь блоков по восемь опытов в каждом. Этим восьми блокам могут соответствовать, например, восемь периодов времени или восемь партий сырья. Для этого плана таблица 12.1.4 советует использовать при разделении следующие генерирующие равенства блоков: х₇=х₁₃₅, х₈=х₁₂₅₆ и х₉=х₁₂₃₄.

Помня (12.1.3), что х₁◦х₁=х₂◦х₂=х₃◦х₃=х₄◦х₄=х₅◦х₅=х₆◦х₆=1 и после перемножения векторов уровней факторов блоков, получаем следующие выражения

х₇◦х₈=х₁₃₅◦х₁₂₅₆=х₂₃₆

х₇◦х₉=х₁₃₅◦х₁₂₃₄=х₂₄₅

х₈◦х₉=х₁₂₅₆◦х₁₂₃₄=х₃₄₅₆

х₇◦х₈◦х₉=х₁₃₅◦х₁₂₅₆◦х₁₂₃₄=х₁₄₆.

В результате получается, что только воздействия от взаимодействий высокого порядка (трёхфакторные и более высокого порядка) совмещены с воздействиями факторов блоков и их взаимодействий.

Так как выполняющими разделение на блоки являются векторы х₇=х₁₃₅, х₈=х₁₂₅₆, х₉=х₁₂₃₄ уровней факторов блоков, то для разделения опытов плана 2⁶ на восемь блоков необходимо следовать той же процедуре, что и ранее. Сначала записать столбцы уровней факторов плана 2⁶ в стандартном порядке и опыты пронумеровать. Восемь индикаторов блоков составляются из плюсовых и минусовых уровней, соответствующих уровням факторов х₇=х₁₃₅, х₈=х₁₂₅₆ и х₉=х₁₂₃₄ блоков, как показано в таблице 12.1.5. Каждый из полученных восьми индикаторов служит для выделения из общего числа опытов восьми отдельных, принадлежащих соответствующему блоку. С использованием индикаторов блоков в таблице 12.1.6 все опыты по плану 2⁶ разделены на 8 блоков и первые два блока выделены цветным (красным и зелёным) шрифтом.

Таблица 12.1.5. Индикаторы блоков из элементов векторов х₁₃₅, х₁₂₅₆ и х₁₂₃₄

Таблица 12.1.6. Деление опытов эксперимента по плану 2⁶ на 8 блоков по 8 опытов.

В случае необходимости повторения опытов эксперимента имеет смысл повторять опыты всего засуживающего интерес отдельного блока или всех блоков опытов желаемое число раз.