Функциональные ряды
Функциональные ряды.
Функциональный ряд 
в каждой фиксированной точке 
представляет собой числовой ряд. Исследуя этот числовой ряд, можно выяснить, сходится или расходится функциональный ряд в данной точке z.
Функциональный ряд сходится в точке , если 
. Это так называемая обычная или поточечная сходимость функционального ряда, заметим, что 
зависит не только от 
, как в числовых рядах, но и от z, поэтому ряд может сходиться с разной скоростью в различных точках z.
Критерий Коши (поточечной сходимости ряда). Для того чтобы функциональный ряд сходился в точке z, необходимо и достаточно, чтобы 
.
Множество точек z, в которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
Примеры
1. Ряд 
сходится на всей комплексной плоскости. Проверим это. Исследуем ряд из модулей 
. Так как это числовой знакоположительный ряд, применим к нему признак Даламбера. 
. Ряд абсолютно сходится во всей комплексной плоскости.
2. Ряд 
сходится только в точке 
. Проверьте это.
Рекомендуемые материалы
3. Ряд 
абсолютно сходится в круге 
, проверьте это по признаку Даламбера или радикальному признаку Коши. На окружности 
ряд 
превращается в ряд из единиц, расходящийся, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда.
4. Ряд 
абсолютно сходится в круге , проверьте это по признаку Даламбера или радикальному признаку Коши. На окружности ряд 
превращается в сходящийся ряд 
.
5. Ряд 
абсолютно сходится в круге , проверьте это по признаку Даламбера или радикальному признаку Коши. Исследуем сходимость на окружности в различных ее точках. В точке 
имеем расходящийся гармонический ряд. В точке 
имеем ряд 
. Это – условно сходящийся ряд (по признаку Лейбница). В точке 
имеем ряд 
. Этот ряд рассмотрен выше, он сходится условно. В точке 
имеем ряд 
. Он тоже сходится условно, так как условно сходятся ряды из действительных и мнимых частей.
Функциональный ряд сходится равномерно в области G если 
. Это – равномерная сходимость функционального ряда в области G, заметим, что зависит только от , как в числовых рядах, поэтому ряд сходится с одной и той же скоростью в различных точках z области G.
Критерий Коши (равномерной сходимости ряда). Для того чтобы функциональный ряд сходился равномерно в области G, необходимо и достаточно, чтобы 
.
Вместе с этой лекцией читают "4. Модели жизненного цикла АС".
Для равномерно сходящихся функциональных рядов функций комплексной переменной справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и почленном дифференцировании. Формулировки этих теорем и доказательства идентичны теоремам о равномерно сходящихся рядах функций действительного переменного. Разница лишь в различном понимании модуля действительного и комплексного числа и в том, что интегрирование проводится по кусочно-гладкой дуге..
Аналогично формулируется и доказывается и признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.
Признак Вейерштрасса. Пусть члены функционального ряда мажорируются членами сходящегося числового ряда в некоторой области 
. Тогда функциональный ряд сходится равномерно в области G.
Доказательство. Для сходящегося числового знакоположительного ряда 
выполнен критерий Коши: 
.
Так как 
(по свойствам сходящихся числовых рядов можно считать, что неравенство выполняется, начиная с первого номера, т.е. для всех n), поэтому для функционального ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости ряда:
Следовательно, функциональный ряд сходится равномерно в области G.
