Интегральная формула Коши
Лекция 5.
Интегральная формула Коши.
Интегральная формула Коши
|
| Пусть функция
|
аналитическая в односвязной области G . Пусть кусочно-гладкий контур L принадлежит G вместе со своей внутренностью D . Пусть 
, тогда Доказательство. По интегральной теореме Коши для многосвязной области
=
, где 
- окружность с центром в точке 
, радиусом 
, 
. Радиус окружности выбран достаточно малым, чтобы окружность целиком лежала в области D. Так как 
(важный пример в предыдущей лекции), то 
. Оценим |
| =
= |
| 
Рекомендуемые материалы
(на окружности , 
, так как 
. По непрерывности функции 
).
. В силу произвольности 
|| = 0. Следовательно, 
.
Теорема. Аналитическая функция является бесконечно дифференцируемой в области аналитичности.
Доказательство. Можно показать, что интеграл в интегральной формуле Коши можно дифференцировать по z0, как по параметру. Проводя это дифференцирование нужное число раз, получим формулу для n – ой производной аналитической функции.
, 
, 
….
. Это - формула для n – ой производной аналитической функции.
Бесплатная лекция: "Лекция 14" также доступна.
С помощью полученных формул (деля обе части на коэффициент перед интегралом) можно вычислять интегралы вида
, 
.
Примеры. 1. 
(по интегральной формуле Коши)
2.
(по формуле для первой производной)
3. Вычислить
. Аналитичность функции нарушается в точках z=0, z=1. Рассмотрим два контура: 
– окружности с центрами в точках z=0, z=1, радиусами r=1/4. 
. По интегральной теореме Коши для многосвязной области = 
+
= 
=
=
.
