Преобразование Фурье
Лекция 5.
Преобразование Фурье.
Ряд Фурье в комплексной форме.
=
Рекомендуемые материалы
Следовательно, 
.
Интеграл Фурье.
Теорема. Пусть 1) 
ограничена на R, 2) абсолютно интегрируема на R, 3)на любом конечном интервале удовлетворяет условиям Дирихле. Тогда
, 
.
Вывод (нестрогий). Рассмотрим разложение функции в ряд Фурье на 
.
. Перейдем к пределу при 
. Так как 
, то 
.
Второе слагаемое при переходит в 
(предел интегральной суммы). Следовательно, в точках непрерывности
.
Косинус и синус – преобразования Фурье.
Заметим, что подынтегральная функция в интеграле Фурье четна по 
. Поэтому
1) Пусть 
- четная функция, тогда 
В точках непрерывности 
=
.
- обратное косинус – преобразование Фурье
- косинус – преобразование Фурье.
2) Пусть - нечетная функция, тогда 
=
.
- обратное синус – преобразование Фурье
- синус – преобразование Фурье.
Преобразование Фурье.
Из формулы интеграла Фурье по четности подынтегральной функции по имеем
= 
=
+
.
Рассмотрим второй интеграл и сделаем в нем замену 
.
= 
= 
Получили первый интеграл, следовательно, второй интеграл равен первому. Поэтому
=
= 
.
Лекция "Внешняя политика Ивана III" также может быть Вам полезна.
называются прямым и обратным преобразованием Фурье.
Часто множитель относят ко второму интегралу:
Связь преобразований Лапласа и Фурье.
Запишем преобразование Лапласа 
=
= 
. Таким образом, преобразование Лапласа функции есть преобразование Фурье функции 
. Заметим, что ограниченность функции следует из выполнения требования к оригиналу по Лапласу : 
. Тогда ||< 
.
