Интегрирование функций комплексной переменной
Интегрирование функций комплексной переменной.
19.5.1. Интеграл от ФКП.
19.5.1.1. Определение. Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция . Разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , найдём и составим интегральную сумму . Предел последовательности этих сумм при , если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек , называется интегралом от функции по кривой и обозначается .
Теорема. Если функция непрерывна на кривой , то она интегрируема по этой кривой.
Док-во. Распишем действительные и мнимые части всех величин, входящих в интеграл: тогда , и сумма разобьётся на две . Каждая из этих сумм - интегральная сумма для действительных криволинейных интегралов второго рода, соответственно, и . Если L - кусочно-гладкая кривая, - непрерывна (тогда непрерывны её координатные функции и ), то существуют пределы этих сумм при - соответствующие криволинейные интегралы, следовательно, существует , и .
19.5.1.2. Свойства интеграла от ФКП. Мы доказали, что выражается через два действительных криволинейных интеграла второго рода, поэтому он обладает всеми свойствами этих интегралов:
1. - произвольные комплексные постоянные);
2. - кривые без общих внутренних точек):
Рекомендуемые материалы
3. - кривая, совпадающая с L, но проходимая в противоположном направлении;
4. Если l - длина кривой L, , то .
19.5.2. Интегральная теорема Коши. Это одна из основных теорем теории ФКП.
19.5.2.1. Теорема Коши для односвязной области. Если D - односвязная ограниченная область, - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от по L равен нулю: .
Доказательство. Удивительно, но эта важнейшая теорема непосредственно и просто следует из условий Коши-Римана и формулы Грина. Так как, по доказанному выше, , то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим , так как, по из условиям Коши-Римана . Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.
Следствие. Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция , и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл имеет одинаковое значение.
Доказательство полностью повторяет доказательство теоремы Теоремы 1 раздела 16.3.3.5.1. Объединение кривых - замкнутый контур, поэтому .
Оказывается, что справедлива и обратная теорема Морера: если функция непрерывна в односвязной области D и интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру, лежащему в D, равен нулю, то функция аналитична в области D.
19.5.2.2. Теорема Коши для многосвязной области. Если функция аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области , ограниченной контурами (внешняя граница), , , …, , то интеграл от , взятый по полной границе области , проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю.
В лекции "Коммуникационные эффекты" также много полезной информации.
Доказательство и здесь воспроизводит доказательство формулы Грина для многосвязной области. Рассмотрим случай, когда граница области (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура и внутренних контуров L1 и L2. Соединим контур разрезом FM с контуром L1, разрезом BG - с контуром L2 Область с границей односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши:
. Интегралы по каждому из разрезов входят в этот общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны.
В дальнейшем нам понадобится другая формулировка этой теоремы. Буквами без верхнего индекса будем обозначать контуры, проходимые против часовой стрелки, с верхним минусом - по часовой. Мы доказали, что . Таким образом, интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам, при этом все контуры обходятся в одном направлении.
19.5.3. Первообразная аналитической функции. Если функция аналитична в односвязной области D, то, как мы доказали, интеграл по кривой зависит только от начальной и конечной точек и не зависти от формы кривой. Если зафиксировать начальную точку , то интеграл будет зависеть только от конечной точки z, поэтому можно написать . Можно доказать (также, как мы доказывали существование потенциальной функции в односвязной области при выполнении условия ), что справедлива следующая
Теорема. Для любой аналитической в области D функции интеграл является аналитической в D функцией, и
Любая функция такая, что , называется первообразной функции . Любые две первообразные отличаются не более, чем на постоянную, поэтому , откуда при получаем , или . Таким образом, для аналитических функций справедлива формула Ньютона-Лейбница, и основные приёмы интегрирования: .