Аналогии топологических уравнений

Аналогии топологических уравнений.

Топологические уравнения в большинстве физических подсистем базируются на уравнениях равновесия и уравнениях непрерывности.

Рассмотрим аналогии топологических уравнений в различных физических подсистемах по отношению к электрической подсистеме.

Электрическая подсистема.

Связи между отдельными элементами этой подсистемы устанавливаются на основе законов Кирхгофа.

Уравнение первого закона Кирхгофа устанавливает равенство нулю суммы токов в узлах схемы, т. е.  (уравнение равновесия), где  - ток k-ой ветви; р - множество номеров ветвей, инцидентных рассматриваемому узлу.

Из уравнения второго закона Кирхгофа видно, что сумма падений напряжений на элементах схемы при их обходе по произвольному контуру равна нулю, т. е.  (уравнение непрерывности), где j - номер ветви; U_j - падение напряжения на j-й ветви схемы, входящей в контур; q здесь и далее - множество номеров ветвей, входящих в рассматриваемый контур.

Механическая поступательная подсистема.

Рекомендуемые материалы

Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение принципа Даламбера: сумма сил, действующих на тело, включая инерционные, равна нулю, т. е. , где F_k - сила, приложенная к телу.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа будет уравнение принципа сложения скоростей: абсолютная скорость является суммой относительной и переносных скоростей, или же сумма этих трех скоростей равна нулю (переносных скоростей может быть несколько: с первого тела на второе, со второго на третье и т. д.), т. е. .

Для механических плоскостных и пространственных систем рассмотренные принципы применимы, если F_k и V_j представить в виде векторных величин, когда приведенные выше уравнения справедливы для каждой координатной оси, например для пространственных систем ; ; ; ; ; ; где , ,  - соответственно проекции сил на оси х, у, z; V_jx, V_jy, V_jz - соответственно проекции скорости на оси х, у, z.

Механическая вращательная подсистема.

Аналогом уравнения первого, закона Кирхгофа является уравнение принципа Даламбера для вращательных подсистем, т. е. , где M_k - момент силы, действующий относительно оси вращения, включая момент, вызванный моментом инерции.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа является уравнение принципа сложения угловых скоростей вдоль оси вращения, т. е. .

Гидравлическая (пневматическая) подсистема.

Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение равновесия в узлах подсистемы, т.е. , где Q_mk - поток, подтекающий или оттекающий от узла.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа является уравнение неразрывности подсистемы, т. е.  - сумма падений давлений при обходе по контуру равна нулю; P_j - падение давления ветви, входящей в контур.

Тепловая подсистема.

Аналогом уравнения первого закона Кирхгофа является уравнение равновесия в узлах подсистемы, т. е.  – сумма тепловых потоков в узлах подсистем равна нулю, где Ф_k, - тепловой поток, подтекающий или оттекающий от узла.

Аналогом уравнения второго закона Кирхгофа является уравнение непрерывности, т. е.  - сумма разностей температур при обходе по замкнутому контуру равна нулю, где T_j - разность температур на участке, входящем в контур.

Таким образом, во всех рассмотренных подсистемах можно установить аналогии переменных типа потока и типа потенциала. Эти аналогии и аналогии на уровне простейших элементов сведены в табл. 1.

Таблица 1.

Примечание. Аналогии рассматривались по отношению к электрической подсистеме, но это не принципиально; в качестве исходной могла быть выбрана любая другая подсистема (кроме тепловой).

Топологические уравнения строго справедливы для установившихся режимов, но их можно применять и в случаях, когда временем распространения возбуждений по линиям связи можно пренебречь. Время распространения возбуждений зависит от физической природы подсистемы, т. е. от скорости распространения возбуждений в соответствующей среде и размеров этой среды в конкретном объекте.

Под возбуждением понимается изменение фазовых переменных.

Критической длиной называют приближенный предельный размер среды, при превышении которого необходимо учитывать время распространения возбуждений.

Критическая длина зависит от временного диапазона моделирования объекта, например если моделируется электрический объект в наносекундном диапазоне, то критическая длина будет порядка 30 см; если в пикосекундном диапазоне, то критическая длина составит единицы и доли миллиметра. Приближенно критическую длину можно определить по формуле , где V - скорость распространения возбуждения в среде, например для электрической подсистемы это скорость света, для механической, гидравлической и пневматической подсистем - скорость звука;  - интервал времени, характеризующий временную точность рассмотрения процессов.

Приведенные выше элементы подсистем - линейные. Однако элементы подсистем могут быть и нелинейными, зависящими от режима работы, например гидравлическое сопротивление при турбулентном режиме течения жидкости зависит от расхода, значение емкости р-n-перехода - от напряжения на нем. Если набор линейных и нелинейных элементов дополнить зависимыми и независимыми источниками переменных типа потока I и типа разности потенциалов Е, то будем иметь базовые совокупности двухполюсников, на основе которых можно получать математические модели практически любых технических объектов.

Информация в лекции "Форма - формообразование - композиция" поможет Вам.

Независимые источники используются для моделирования постоянных воздействий на объект, например, сила тяжести может быть отражена постоянным источником силы, напряжение питания электронной схемы - источником типа разности потенциалов и т. д.

Зависимые источники можно разделить на группы:

1) источники, зависимые от времени;

2) источники, зависимые от фазовых переменных.

Источники, зависимые от времени, используются для моделирования внешних воздействий на объект, например трапецеидальным источником расхода может быть отражено функционирование реального гидронасоса в режимах включения, работы и включения, синусоидальным источником напряжения - включение генератора сигналов к электронной схеме. Источники, зависимые от фазовых переменных, используются для отражения нелинейных свойств объектов, а также для установления взаимосвязей между подсистемами различной физической природы.