Функции нескольких переменных
Глава 9. Функции нескольких переменных
§1. Понятие функции нескольких переменных.
DÌRn P(x1,x2,…,xn) Î D f(P) = f(x1,x2,…,xn) f: Rn ® R E = íuÎRïu = f(P), PÎDý
n = 2 z = f(x,y) G = í(x,y,z) Î R3ô z=f(x,y)ý
§2. Предел и непрерывность.
A z = f(x,y) P(x,y) ® P0(x0,y0) "e > 0 $d(e) > 0 : 0 < r(P,P0) = 
Þôf(x,y) – Aô < e 
Рекомендуемые материалы
1) P0 Î D 2) $ 
3) 
§3. Частные производные.
(x0,y0) z=f(x,y) 
и т. д.
Смешанные частные производные ( не зависят от порядка дифференцирования )
§4. Дифференциал функции и его применение.
Полное приращение функции z=f(x,y) в точке Р(x0,y0) Dz = f(x0+Dx, y0+Dy) – f(x0,y0)
Dz = A1Dx + A2Dy +o(r) 
f(x0 +Dx,y0 +Dy) » f(x0, y0) + df(x0, y0)
§5. Экстремум функции.
z=f(x,y) max(min) в точке Р(x0,y0) f(x0, y0)>f(x,y) ( f(x0, y0)<f(x,y) )
Необходимое условие экстремума
fx¢(x0,y0) = fy¢(x0,y0) = 0 или не существует, df(x,y) º 0 Стационарная точка, критическая точка.
Достаточное условие экстремума
Р(x0,y0) A = fxx¢¢(x0,y0), B = fxy¢¢(x0,y0), C = fyy¢¢(x0,y0), D = AC – B2Þ
а) Если D > 0 , то Р(x0,y0) - точка экстремума, а именно: min при A>0 (C>0) , max при A<0 (C<0)
б) Если D < 0 , то экстремума нет. в) Если D = 0, требуется доп. исследование
Градиент f¢(x0,y0) = (f¢x(x0,y0),f¢y(x0,y0)) Производная по направлению f¢l =½f¢(x0,y0)ê cosa
§6. Условный экстремум.
z=f(x,y) условный max(min) в точке Р(x0,y0) уравнение связи j(х,у) = 0 ( условие ) f(x0, y0)>f(x,y) ( f(x0, y0)<f(x,y) )
Функция Лагранжа L(x,y,l) = f(x,y) + lj(x,y), l - множитель Лагранжа.
Необходимое условие условного экстремума
Lx¢(x0,y0,l0) = 0, Ly¢(x0,y0,l0) = 0, Ll¢(x0,y0,l0) = j(x0,y0) = 0 Þ Р1(x1,y1,l1), Р2(x2,y2,l2),…
Достаточное условие условного экстремума
D < 0 Þ P1 – т. условного max, D < 0 Þ P1– т. условного min
§7. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Во внутренней критической точке или в граничной точке
Граничные точки исследуют по частям границы.
Если функция линейна и ограничения линейны, то область многоугольна. В этом случае достаточно проверить углы.
§8. Метод наименьших квадратов.
| х | х1 | х2 | … | xn |
| y | y1 | y2 | … | yn |
y = ax + b Погрешности (отклонения в направлении оси Оу)
e1 = ax1 + b – y1, e2 = ax2 + b – y2, …, en = axn + b – yn U = e12+e22+…+en2® min
U = (ax1 + b – y1)2 + (ax2 + b – y2)2 +…+( axn + b – yn)2 = F(a,b) Необх. усл. экстремума F¢a = 0, F¢b = 0
| i | xi | yi | xi2 | xiyi |
| 1 | x1 | y1 | x12 | x1y1 |
| 2 | x2 | y2 | x22 | x2y2 |
| … | … | … | … | … |
| n | xn | yn | xn2 | xnyn |
|
| åxi | åyi | åxi2 | åxiyi |
Январь –4,8 Февраль – 4,4 Апрель – 4,6 Май – 4,6 Июль – 4,4 Сентябрь – ? Октябрь – ?
Как строятся «экономические кривые»?
S = f(P) предложение от цены P = f -1(S)
P = g(D)¯ цена от спроса (P0,Q0) – точка равновесия
Эластичность спроса 
Пусть Q = C×P-a Þ При a>1 ED = a > 1 – спрос эластичен, при a < 1 - нет
Эластичность предложения. Пусть Q = C×Pa Þ При a>1 ES = a > 1 – предложение эластично, при a < 1 - нет
§9. Двойной интеграл.
f(x,y) = f(P) Î C(G), G Ì R2 s = ís1,s2,…,sný Площади подобластей Dsi , диаметры di Pi Î si, i = 1, 2,…,n 
max di ® 0 (1£ i£ n)
повторных интегралов
G ограничена кривыми y = j1(x) снизу, y = j2(x) сверху и прямыми x = a слева, x = b справа, j1ÎC[a,b], j2ÎC[a,b], j1(x)£ j2(x)
Или: G ограничена кривыми х = y1(у) слева, х = y2(у) справа и прямыми у = с снизу, y = d сверху, y1ÎC[c,d], y2ÎC[c,d], y1(y)£ y2(y)
Если граница задается несколькими формулами, вычисляют несколько интегралов. Изменить порядок интегрирования
Замена переменных. x = j(u,v), y = y(u,v) взаимно-однозначное непрерывно дифференцируемое отображение G O¢uv « G Oxy u = h(x,y), v = c(x,y) G ® G якобиан
Для полярных координат 
§10. Приложения двойных интегралов.
Геометрические приложения
а) Площадь S плоской области G 
в декартовых прямоугольных, в криволинейных, в частности, в полярных
б) Объем V, ограниченный сверху непрерывной поверхностью z = f(x,y), снизу плоскостью z = 0 и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Оху область G
Если тело ограничено сверху непрерывной поверхностью z = f1(x,y), снизу непрерывной поверхностью z = f2(x,y), и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Оху область G 
19 Характерные черты художественной культуры - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Механические приложения
Пластинка переменную поверхностную плотность g = g (х,у) масса М статические моменты Мх и Му относительно осей Ох и Оу
координаты центра масс
Моменты инерции пластинки относительно осей Ох и Оу
