Определенный интеграл и методы его вычисления
Глава 8. Определенный интеграл и методы его вычисления.
§1. Определенный интеграл как предел интегральных сумм.
f(x) [a,b] a = xo < x1 <…< xn = b разбиение отрезка
интегральная сумма, где xk-1 £ ck £ xk, Dxk = xk – xk-1 max Dxk ® 0
§2. Формула Ньютона-Лейбница.
Рекомендуемые материалы
Теорема (Барроу) fÎC[a,b], x®F(x) = 
Þ F(x) дифференцируема на [a,b] и F¢(x) = f(x)
Следствие 1. 
, поскольку F(а) = 0
Следствие 2. Пусть F(x) – любая первообразная для f(x) Þ F(x) – F(a) = F(x) – F(a)
§3. Свойства определенного интеграла.
1. f(x) ³ 0 на [a,b] Þ 
2. 
3. f Î C[a,b], m £ f(x) £ M на [a,b] Þ 
4. f Î C[a,b]Þ $ сÎ(a,b): 
среднее значение функции на [a,b]
5. f(x) четная Þ 
f(x) нечетная Þ 
§4. Замена переменной и интегрирование по частям.
f Î C[a,b], x=j(t) Î C1[t1,t2], a = j (t1), b = j (t2)Þ 
§5. Несобственные интегралы.
Интегралы с бесконечными пределами
f Î C[a,+¥) Þ 
Сходящийся Расходящийся
Признаки сходимости (расходимости)
а) F¢(x) = f(x), $ 
Þ несобственный интеграл сходится и равен F(+¥) – F(a)
б) Пусть при а £ х £ +¥ 0 £ f(x) £ g(x) Þ 
в) Пусть при а £ х £ +¥ f(x) > 0, g(x) > 0 и , k ¹ 0, k ¹ +¥ Þ
Интегралы с бесконечными пределами
f Î C[a,+¥) Þ 
Сходящийся Расходящийся
Признаки сходимости и расходимости
а) Пусть F¢(x) = f(x), $ 
Þ несобственный интеграл сходится и равен F(+¥) – F(a)
б) Пусть при а £ х £ +¥ 0 £ f(x) £ g(x) Þ 
в) Пусть при а £ х £ +¥ f(x) > 0, g(x) > 0 и $ 
, k ¹ 0, k ¹ ¥ Þ
сходятся одновременно
г) Если 
сходится
Интегралы от неограниченных функций
Если f Î C[a,b), $ 
Þ 
§6. Геометрические приложения определенного интеграла.
а) Площадь плоской фигуры
y = f (x) ³ 0, x = a, x = b, Ox 
y = f1 (x), y = f2 (x), f1 (x) £ f2 (x), x = a, x = b 
В параметрических и полярных координатах 
б) Длина дуги кривой
в) Площадь поверхности вращения (боковой) y = f (x) вокруг Ox, a £ x £ b
г) Объем тела
S (x) Î C[a,b] Þ 
§7. Численное интегрирование функций одной переменной.
xk Î [a,b], k = 1,2,…,n 
Для метода прямоугольников
(k = 1,…,n)
Для метода трапеций
, x0 = a, xk = xk-1 + h (k = 1,…,n)
Люди также интересуются этой лекцией: 2.7. Сила давления на криволинейную поверхность.
Для метода Симпсона
, x0 = a, xk = xk-1 + h (k = 1,…,2n)
Погрешности
Rn(f) = 
f¢¢(x) h2, xÎ[a,b] для метода прямоугольников
Rn(f) = 
f¢¢(x) h2, xÎ[a,b] для метода трапеций
Rn(f) = 
f(IV)(x) h4, xÎ[a,b] для метода Симпсона
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
