Комплексные числа
Глава 6. Комплексные числа.
§1. Действия над комплексными числами.
Комплексное число z характеризуется парой вещественных чисел (a,b) с установленным порядком следования z = (a,b), a = Re z – вещественная часть, b = Im z – мнимая часть. 
Сумма комплексных чисел z1+z2 = (a1+a2, b1+b2) Свойства. 1. z1+z2 = z2+z1 2. (z1+z2)+ z3 = z1+(z2+ z3)
Произведение z1.z2 = (a1a2 - b1b2, a1b2 + a2b1) Свойства. 1. z1.z2 = z2.z1 2. (z1.z2). z3 = z1.(z2. z3) 3. (z1+z2). z3 = z1.z3+ z2.z3
(a,0)ºa. "z z.(1,0) = z. (1,0)º1. (0,b) – чисто мнимое число, (0,1)º i – мнимая единица (0,b) = (b,0).(0,1)º bi, i2 = -1 z = (a,b) = a + bi - алгебраическая форма записи комплексного числа
= (a, -b) = a – bi - комплексно-сопряженное число 
Рекомендуемые материалы
Деление комплексных чисел z = a + bi = 
§2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
z = a + bi отождествляют с точкой x = a, y = b. Плоскость – комплексная, ось Ох – вещественная, ось Оу – мнимая.
Множество С Û множество точек комплексной плоскости Û множество свободных векторов.
При переходе к полярным координатам получают тригонометрическую форму комплексного числа
z = r ( cos j + i sin j )
r = ½z½- модуль, j = Arg z – аргумент. arg z Î [ -p, p) или [ 0, 2p ) Arg z = arg z + 2pk
Свойства. ½z1 + z2½£½z1½ + ½z2½, ½z1 – z2½³½z1½ - ½z2½, ½z½³ a, ½z½³ b
§3. Формулы Эйлера и Муавра.
Формула Эйлера eij = cos j + i sin j Þ z = r eij - показательная форма записи комплексного числа.
При умножении комплексных чисел их модули умножаются, а аргументы складываются.
z1.z2 = r1 (cos j1 + i sin j1 ) .r2 (cos j2 + i sin j2 ) = r1r2 ( cos(j1 + j2 ) + i sin(j1 + j2 )), r1eij.r2eiy = r1r2ei(j+y)
В частности, если z1 = z2 = z, то z2 = r2 (cos 2j + i sin 2j), … , zn = rn (cos nj + i sin nj)Þ
cos nj + i sin nj = (cos j + i sin j)n – формула Муавра
При делении …
§4. Извлечение корня из комплексного числа.
Если z = z1n , то r = r1n, j = nj1 Þ 
.
Аргумент определен не однозначно Þ 
, где j0 – одно из значений аргумента числа z.
$ различные комплексные числа, которые при возведении в n–ю степень равны одному и тому же комплексному числу z. Модули этих чисел одинаковы – равны r1 – т.е. они лежат на окружности. Аргументы отличаются на число, кратное 
. Число различных корней n-й степени из равно n. Точки на правильного n–угольника, лежащего на окружности.
§5. Решение алгебраических уравнений.
Обратите внимание на лекцию "ЕВКЛИД".
f(z) = A0zn + A1zn-1 + … +An-1z + An , Ak ÎR. (1) Пусть он имеет корень z = a + bi , b ¹ 0 Þ
z1 = a – bi также его корень. 
.
Комплексные корни многочлена (1) распределяются по парам сопряженных корней.
Поскольку 
, то пара сопряженных корней дает вещественный множитель 2-й степени с D<0 ( при b¹0 ) Þ многочлен n-й степени можно разложить на множители 1-й и 2-й (с D<0 ) степени.
Любой многочлен нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет хотя бы 1 вещественный корень.
Если n = 2 и D<0, то уравнение имеет 2 комплексно-сопряженных корня.
