Дифференциальные уравнения

Глава 10. Дифференциальные уравнения.

§1. Уравнения 1-го порядка.

                 F(x,y,y¢) = 0      y¢ = f(x,y)       (1)                      (a,b)     y = j(x)          j¢(x)           F(x,y) = 0

y = j(x,C)             y = j(х,C₀)             F(x,y,C) = 0        

§2. Уравнения с разделяющимися переменными.

y¢ = f(x,y)       f(x,y) = f₁(x)f₂(y)                          

Рекомендуемые материалы

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0,       M(x,y) = M₁(x) M₂(y),  N(x,y) = N₁(x)N₂(y)      

y¢ = f(ax + by +d),  b¹0       u(x) = ax + by(x) +d Þ u¢ = a + b f(u)

§3. Однородные уравнения.

                 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0           $kÎR: M(tx,ty) = t^kM(x,y),  N(tx,ty) = t^kN(x,y),  t¹0

   к однород.,    « = »  Þ к ур-ям с разд. перем.

§4. Линейные уравнения 1-го порядка.

y¢ = P(x)^.y + Q(x)                Q(x)º0 Þ y¢ = P(x)^.y         

1) Метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа)   

2) Метод подстановки  y(x) = u(x)^.v(x) Þ       u = u₁(x),  v = v(x,C) Þ y(x)

§5. Уравнение Бернулли.

y¢ = P(x)^.y + Q(x)^.y^m               m¹0, m¹1

1) Подстановка z = y^1-m       m>1  y = 0

2) Метод подстановки  y(x) = u(x)^.v(x) Þ       

u = u₁(x),  v = v(x,C) Þ y(x)

§6. Теорема существования и единственности решения.

Задача Коши для уравнения y¢ = f(x,y)       начальному условию   у(х₀) = у₀

Теорема 1. (Коши)  D   Oxy     f¢_y(x,y)      (x₀,y₀)ÎD          x₀ – h < x < x₀ + h

Особое решение  y = j(x,C)       

§7. Дифференциальные уравнения высших порядков.

F(x,y,y¢,y²,…,y⁽ⁿ⁾) = 0                       y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y¢,…,y^(n-1))                     (2)

Начальные условия   y(x₀) = y₀,  y¢(x₀) = y₁,…, y^(n-1)(x₀) = y_n-1             (3)

y = j (x,C₁, C₂,…,C_n)                         

Теорема 2 (существования и единственности решения задачи Коши)

(2)    f(x,y,y¢,…,y^(n-1))     D                    (x₀,y₀,y₁,…,y_n-1)ÎD     x₀ - h < x < x₀ +h

§8. Уравнения, допускающие понижение порядка.

а)  y⁽ⁿ⁾ = f(x)         y = òdxòdx…òf(x)dx + P_n-1(x)

                                                                                                   б)  F(x, y^(k),…,y⁽ⁿ⁾) = 0      y^(k) = z(x)

в)  F(y, y¢,…,y⁽ⁿ⁾) = 0      y¢ = p(y)  Þ

                                                                                               г) 

§9. Линейные однородные уравнения.

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)×y^(n-1) + … + a_n-1(x)×y¢ + a_n(x)×y = 0                  (4)

y₁(x)      y(x) = y₁(x)×z(x)           (n-1)-го порядка

Теорема 3         система функций у₁(х), у₂(х), … , у_n(х)     (4)                 определитель Вронского

                                                                                                      

Общее решение  (4)         y₀(x) = C₁×y₁(x) + C₂×y₂(x) + … + C_n×y_n(x)           фундаментальной

§10. Линейные неоднородные уравнения.

                            y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)×y^(n-1) + … + a_n-1(x)×y¢ + a_n(x)×y = f(x)           (f(x) ¹ 0)            (5)

y(x) = y₀(x) + y_*(x)          y₀(x)- общее решение (4)          y_*(x) - частное решение (5)

Если известны  у₁(х), у₂(х), … , у_n(х),  то можно найти  y_*(x) методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.  

         В частности, для уравнения 2-го порядка   y² + a₁(x)×y¢ + a₂(x)×y = f(x)            (6) 

                                                  сначала решают однородное уравнение       y² + a₁(x)×y¢ + a₂(x)×y = 0 ,

              получают фундаментальную систему   у₁(х), у₂(х)  и общее решение y₀(x) = C₁×y₁(x) + C₂×y₂(x),

затем по методу Лагранжа общее решение (6) ищут в виде  y(x) = C₁(x)×y₁(x) + C₂(x)×y₂(x) , 

                                                    где  C₁¢(x)  и  C₂¢(x)  находят из системы

  ,   после чего интегрированием находят  C₁(x)  и  C₂(x)  

§11. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Общий вид           y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + … + a_n-1y + a_ny = 0              (7)

Характеристическое уравнение     lⁿ + a₁l^n-1 + … + a_n-1 l + a_n = 0         (8)

веществ. корням l кратности  r уравнения (8) «  r  лин. незав. решений  (7)   e^lx, x× e^lx, … , x^r-1× e^lx

паре компл. l = a ± bi  кратности  s уравнения (8) «  s пар лин. незав. решений  (7)  

e^axcos bx,   x×e^axcos bx, … ,   x^s-1×e^axcos bx;         e^axsin bx,   x×e^axsin bx, … ,   x^s-1×e^axsin bx

§12. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

Общий вид           y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + … + a_n-1y + a_ny = f(x)              (9)

y(x) = y₀(x) + y_*(x)          y₀(x)- общее решение (7)          y_*(x) - частное решение (9)

Специальные виды  f(x) в уравнении (9):

I. f(x) = ( d₀x^m + d₁x^m-1 + … + d_m)e^kx

II. f(x) = [(a₀x^k + a₁x^k-1 + … + a_k)×cos qx + ( b₁x^l + b₂x^l-1 + … + b_l)×sin qx]×e^px

метод неопределенных коэффициентов

а) k и p ± iq - не корни (8) Þ y_* ищется в виде

I. y_* = ( D₀x^m + D₁x^m-1 + … + D_m)e^kx

II.  y_* = [(A₀x^M + A₁x^M-1 + … + A_M)×cos qx + ( B₁x^M + B₂x^M-1 + … + B_M)×sin qx]×e^px,    M = max( k, l )

б)  k  или p ± iq  совпадают с корнем (8) кратности r  Þ y_* ищется в виде

I. y_* =x^r ( D₀x^m + D₁x^m-1 + … + D_m)e^kx

II. y_* =x^r [(A₀x^M + A₁x^M-1 + … + A_M)×cos qx + ( B₁x^M + B₂x^M-1 + … + B_M)×sin qx]×e^px,    M = max( k, l )

§13. Понятие системы дифференциальных уравнений.

Люди также интересуются этой лекцией: 2. Исторические и теоретические основы.

k  уравнений      x и k функций    y₁(x), y₂(x), … , y_k(x)         

     каноническая,  n = p₁ + p₂ + … + p_k  порядок системы

p₁ = p₂ = … = p_k  = 1  нормальная система

Решение на (a,b)      y₁ = j₁(x), y₂ = j₂(x), … , y_k = j_k(x)

y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y¢,…,y^(n-1))                     (2)