Линейная и постоянная функции

§2. Линейная и постоянная функции

Переменная величина и функция — важнейшие понятия современной математики и физики. Примеры переменных величин и функций поставляет нам природа. Протекающие в ней процессы и закономерности ученые облекают в форму законов физики, математики, химии и т.д. Важнейшая переменная величина — время — входит практически во все физические законы, связанные с движением. Например, известный закон прямолинейного и равномерного движения

s = v₀t                                                                         (3)

содержит две переменные величины: пройденное расстояние s (путь) и время t. Форма записи этого закона подчеркивает тот факт, что пройденный путь зависит от времени, а не наоборот. Математики в этом случае говорят, что переменная величина s является линейной функцией переменной величины t, т.е. s — зависимая переменная, a t — независимая переменная.

Скорость v = v₀ при равномерном движении постоянна, т.е. одна и та же в каждый момент времени. Но, выражаясь таким образом, мы, очевидно, считаем, что скорость является функцией времени. Это пример так называемой постоянной функции.

Равномерное движение представляет собой математическую абстракцию, т.к. на самом деле в природе таких движений не бывает. Например, на участке Тверь—Москва электричка несколько раз изменяет скорость движения, останавливается. Тем не менее, может показаться, что в середине достаточно длинных перегонов скорость постоянна. Однако, так можно считать лишь приближенно. Если бы мы измеряли скорость более точным прибором, то обнаружили бы, что в разные моменты времени она различна. Это различие очень мало, но оно есть.

Когда же электричка, трогаясь с места, только набирает скорость, то последняя (опять же приближенно!) меняется с течением времени так:

v = at,

где а — некоторая постоянная функция, называемая ускорением. Из школьного курса физики нам известно, что линейная зависимость скорости от времени характеризует так называемое равноускоренное движение, при котором пройденный путь вычисляется по формуле:

Рекомендуемые материалы

Предположение, что а — постоянная, тоже математическая абстракция. С помощью точных приборов можно установить, что на самом деле при разгоне электрички скорость меняется по более сложному закону, например,

v = at + bt²,

где b — некоторое сравнительно маленькое число. Второе слагаемое, в силу его малости, обычно отбрасывают, и тогда получаются известные формулы равноускоренного движения. Если же его не отбрасывать, то движение нельзя считать равноускоренным, и тогда формула для вычисления пути будет более сложной.

Рассмотрим еще один физический закон — Второй Закон Ньютона, который запишем так:

Будем считать переменными величинами силу F и ускорение а. Тогда равенство (4) отражает следующий физический эксперимент: на тело с массой т действует сила F, которую можно менять; в результате действия этой силы тело получает ускорение а, которое, следовательно, также является переменной величиной — функцией силы F.

С математической точки зрения оба физических закона — (3) и (4) — это некоторые линейные функции. По сравнению с другими функциями, линейные функции устроены наиболее просто, но они являются и наиболее важными.

Общепринятая форма записи произвольной линейной функции такова:

у = kx + b,    k¹  0,                                                    (5)

где k и b — некоторые постоянные, k ¹  0, а х и у — переменные, причем у зависит от х (или является функцией переменного х).

Всегда важно указать, какие значения может принимать независимая переменная х. Собственно говоря, символом х обозначается произвольный элемент некоторого числового множества, которое называется областью определения функции. Например, в законе равномерного прямолинейного движения (3) можно было считать, что 0 < t < 2 ч 40 мин. Если же множество не указано, то считается («по умолчанию»), что t может быть любым действительным числом.

С помощью системы координат мы можем каждую функцию изобразить наглядно, в виде графика. Построим, например, график линейной функции

у = 2х - 3.                                                             (6)

(Здесь k = 2, b = -3.) Подставляя вместо х различные числовые значения, найдем соответствующие значения у и составим таблицу:

Будем считать, что каждая пара чисел х и у, удовлетворяющих уравнению (6), служит координатами некоторой точки на плоскости. Множество всех таких точек и будет графиком функции (6). Некоторые из этих точек мы уже нашли, их координаты записаны в столбцах таблицы. Если построить на плоскости точки с координатами (0,-3), (1,-1), (-1.-5), (2,1) и т.д., то все они окажутся на одной прямой, которая и будет графиком функции (6) (см. рис. 11).

Соотношение (6) называется уравнением построенной прямой, а число k = 2 — ее угловым коэффициентом, т.к. k = tg a, где а — угол между осью X и прямой.

Если в уравнении (5) положить k = 0, то оно примет вид

у = b.                                                                      (7)

Это постоянная функция: величина у имеет одно и то же значение при любом х, т.е. не зависит от переменной х. Графиком постоянной функции у = b будет прямая, параллельная оси X (см. рис. 12).

Уравнение

х = а                                                                          (8)

также задает постоянную функцию, но здесь мы уже считаем, что переменная х не зависит от переменной у. График этой функции представляет собой прямую, параллельную оси Y (см. рис. 12).

Если переменная у зависит от переменной х, то и наоборот: переменная х зависит от переменной у. Например, если из уравнения (6) выразить х через у, то получим

                                                                          (9)

Эта функция называется обратной по отношению к функции у = 2х - 3. Для любой линейной функции всегда существует ей обратная функция, т.к. из уравнения (5) всегда можно выразить х через у:

Заметьте, что эта функция также является линейной.

А вот для постоянной функции обратной не существует. Почему?

Итак, графики линейной и постоянной функций представляют собой наклонные, вертикальные и горизонтальные прямые. Их уравнения (5), (7) и (8) можно записать в единообразной форме:

Ах + By + С = 0,                                                 (11)

где А, В и С — некоторые постоянные, причем А и В не могут быть нулями одновременно. Левая часть уравнения (11) представляет собой многочлен первой степени относительно переменных х и у.

Если А ? 0 и В ? О, то из уравнения (11) можно выразить х или у и мы получим либо уравнение вида (5), либо уравнение вида (9). Следовательно, при неравных нулю А и В уравнение (11) определяет линейную функцию.

Если А = 0 а В ? 0, то в уравнении (11) остается только переменная у и его можно преписать в виде у = b. Следовательно, если в уравнении (11) А = 0 и В ? 0, то оно задает постоянную функцию. Аналогично, при А ? 0 и В = 0 мы получаем постоянную функцию вида х = а.

Уравнение (11) называется общим уравнением прямой.

УПРАЖНЕНИЯ

6. Укажите точки на плоскости,  координаты которых удовлетворяют одному из следующих соотношений:

х = 0, х > 0, х < 0;

у = 0, у < 0, у > 0;

х = 2, х > 2, х < 2;

у = -3, у<-3,у>-3;

у = х, у > х, у < х;

у = х + 2, у > х + 2, у <х + 2;

х + у + 1 = 0, х + у + I > 0, х + у + 1 < 0;

2х - bу + 10 = 0, 2х - 5у + 10 < 0, 2х - 5у + 1 > 0.

7. Постройте следующие пары точек:

(1,2) и (2,1); (1.-3) и (-3,1); (-2,-4) и (-4,-2); (а, b) и (b, а). Проверьте их симметричность относительно прямой у = х — биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Указание: перегните чертеж по этой прямой.

Попробуем изобразить график функции у = kx + b и обратной ей функции (10) на одном и том же чертеже. Здесь есть некоторое препятствие. Дело в том, что в нашей записи обратной функции независимой переменной является у (т.е. х выражается через у), в то время как у исходной функции независимая переменная обозначена через х. Но раз мы решили строить оба графика на одном и том же чертеже, независимую переменную в обоих случаях необходимо обозначить одинаково, например, х. Тогда уравнение обратной функции (10) запишется так:

или

х = ky + b.                                                           (13)

Это уравнение отличается от уравнения исходной функции (5) заменой переменных х - у. Поэтому, если координаты точки М (х ,у) удовлетворяют уравнению (5), то координаты точки М' (у, х) удовлетворяют уравнению (12) [или (13)]. Но эти точки симметричны относительно прямой х = у — биссектрисы первого и третьего координатных углов. Следовательно, графики функции (5) и обратной ей функции (12) симметричны относительно прямой х = у (т.е. они совпадут, если чертеж перегнуть по этой прямой).

УПРАЖНЕНИЯ

8. Постройте графики данных функций и функций, им обратных (если они существуют):

а) у = – х + 4;   б) у = -1;   в) х = 3.

Линейные функции часто используют при обработке результатов наблюдений (экспериментов). Рассмотрим два примера.

Пример 1. В электрической цепи в течение десяти секунд измеряется напряжение U с интервалом в 1 секунду. Результаты приведены в табл. 8.

Таблица 8

Из теории известно,  что зависимость между U и  t линейная, т.е.

U = kt + b.

Здесь k и b —- некоторые числа (параметры), которые нужно найти. Если бы измерения были точными, то хватило бы двух замеров, поскольку прямая линия вполне определяется двумя точками. Но практически результаты любого измерения являются приближенными. Если, например, построить точки с координатами t, U по данным табл. 8, то окажется, что они не лежат на одной прямой (рис. 13).

Возникла проблема: как найти такие параметры k и b, при которых линейная функция U = kt + b достаточно точно отражает результаты эксперимента, приведенные в табл. 8?

Решим эту задачу так называемым методом наименьших квадратов. Суть его в следующем: прямая выбирается так, чтобы сумма квадратов вертикальных отклонений экспериментальных точек от искомой прямой (см. рис. 13) была как можно меньше. Это условие приводит к формулам

,                                                                  (14)

Здесь ,  и  — средние арифметические значений t, U и tU, a D — дисперсия значений t (см. гл. II).

Составим таблицу:

Таблица 9

В последней строке записана сумма всех чисел соот­ветствующего столбца. Средние арифметические и дисперсию найдем по формулам (1) и (5) [гл. II]:

,  , 

Подставив найденные значения в формулы (1), получим искомые параметры:

,   b = 8,7 + 5,5   0,61 ? 12,06.

Итак, искомая линейная функция имеет вид U = -0,61t + 12,06.

Ее график показан на рис. 13. Проверьте, что он проходит через точку (5,5; 8,7).

Рассмотренный метод применяется и для описания других зависимостей, которые приближенно можно считать линейными.

УПРАЖНЕНИЕ

9. В табл. 10 приведены результаты измерения силы звука самолета (она обозначается v и измеряется в децибелах (дб) на различных расстояниях от точки взлета (расстояние обозначается, как обычно, через s и измеряется в километрах).

Таблица 10

Используя метод наименьших квадратов, подберите линейную функцию, которая описывает зависимость и от s. Найдите:

а) на каком расстоянии от точки взлета звук становится смертельно опасным для человека (свыше 120 децибел);

б) на каком расстоянии от аэродрома можно строить жилые помещения (менее 75 децибел), детские учреждения и больницы (60 децибел)?

Указание: Воспользуйтесь формулами (14).