Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Совокупность уравнений

относительна неизвестных x₁, x₂, ..., x_n-1, x_n называется системой линейных алгебраических уравнений.

Числа a_ij — коэффициенты системы, b_i— правые части системы i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется решением системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называется несовместной.

Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называется общим решением.

Если среди правых частей b_i системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется неоднородной системой линейных уравнений.

Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.

Рекомендуемые материалы

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x = b:

Здесь A — матрица системы, b — правая часть системы , x— искомое решение системы.

Иногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:

A⁽¹⁾x₁ + A⁽²⁾x₂ + ... + A⁽ⁿ⁾x_n = b.

Здесь A⁽¹⁾, A⁽²⁾, ... , A⁽ⁿ⁾ — столбцы матрицы системы.

Матрица Ap называется расширенной матрицей системы.

Если исследуется неоднородная система A·x = b, b ≠ 0, то система A·x =0 называется приведенной однородной системой для системы A·x = b.

Две системы относительно одних и тех же неизвестных эквивалентны, если множества их решений совпадают.

Системы A·x = b и B·A·x = B·b эквивалентны, если матрица B невырождена

СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Если вектор x является решением однородной системы A·x = 0, то вектор αx также является решением этой системы. Здесь α — произвольное число.

Если векторы x и y являются решениями однородной системы A·x = 0, то вектор x + y также является решением этой системы.

Если вектор x является решением однородной системы A·x = 0, а вектор и y — решение неоднородной системы A·x = b, то вектор x + y является решением неоднородной системы A·x = b.

Если векторы x и y являются решениями неоднородной системы A·x = b, то вектор x − y является решением однородной системы A·x = 0.

Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn. Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A.

КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы.

Люди также интересуются этой лекцией: Квалификационные характеристики водолазов.

Это утверждение называют теоремой Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений

очевидно несовместна.

Ранги расширенной матрицы системы матрицы системы не равны, rank Ap = 2, rankA = 1, rank Ap ≠ rankA: