Понятие о линейном пространстве. Единственность нулевого и противоположного элементов

Понятие о линейном пространстве. Единственность нулевого и противоположного элементов.

Определение. Арифметическим вектором называятся упорядоченная совокупность  n чисел. Обозначается , числа  называются компонентами арифметического вектора.

Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число: для любых и и любого числа

Определение. Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством рифметических векторов­­ Rⁿ.

Вектор называется нулевым вектором, а вектор  — противопо

противоположным вектором для вектора .

Для любых , ,  из Rⁿ и любых чисел α , β справедливо:

1. , сложение коммутативно;

2. ,сложение ассоциативно;

Рекомендуемые материалы

3.

4.

5. , умножение на число ассоциативно;

6. ;

7. , умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

8. , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.

Примерами пространства арифметических векторов являются пространства геометрических векторов на плоскости, записанных в координатной форме

Линейные подпространства в Rⁿ, размерность подпространства, базис в подпространстве

Ещё посмотрите лекцию "3 Культура и человек" по этой теме.

Определение. Множество L векторов из Rⁿ , такое, что для любых и из L и любого числа a справедливо , называется линейным подпространством в Rⁿ.

Пример. Множество L арифметических векторов из Rⁿ, у которых последние компоненты — нулевые, образует линейное подпространство в Rⁿ:

Определение. Число k называется размерностью линейного подпространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора — линейно зависимы; обозначаем dimL=k.

Определение. Любая линейно независимая система из k векторов k-мерного линейного подпространства L образует базис линейного подпространства L.

Это означает, что если dimL=k и арифметические векторы из L линейно независимы, то для любого существует единственный набор чисел таких, что