Арифметические векторы
Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел.
Обозначается x = (x1, x2, ..., xn);
числа x1, x2, ..., xn называются компонентами арифметического вектора.
Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметических векторов и умножение вектора на число:
для любых x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) и любого числа α справедливо:
x + y = (x1+ y1, x2 +y2, ..., xn+ yn); αx = (αx1, αx2, ..., αxn).
Множество арифметических векторов, для которых определены операции сложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rn.
Вектор θ = (0, 0, ..., 0) называется нулевым вектором Rn,
а вектор −x = (−x1, −x2, ..., −xn) — противоположным вектором для вектора x в Rn.
Рекомендуемые материалы
Для любых векторов x, y и z из Rn и любых чисел α и β справедливо:
1. x + y = x + y, сложение коммутативно;
2. x + (y + z) = (x + y)+ z, сложение ассоциативно;
3. x + θ = x;
4. x + (−x) = θ;
5. α(x + y) = αx + αy, умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов;
6. α(βx) = (αβ)x, умножение на число ассоциативно;
7. (α + β)x = αx + βx , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел.
8. 1·x = x.
Пространство Rn − n-мерное векторное пространство, dimRn = n.
Если в пространстве Rn определен естественный базис e1, e2, ... en ,
e1= (1, 0, 0,..., 0, 0), e2= (0, 1, 0,..., 0, 0), ..., en-1= (0, 0, 0,..., 1, 0), en= (0, 0, 0,..., 0, 1),
то компоненты вектора x = (x1, x2, ..., xn) из Rn являются координатами вектора x в естественном базисе e1, e2, ... en:
x = (x1, x2, ..., xn) = x1e1+ x2e2+ ...+ xnen.
Всякое конечномерное n-мерное линейное пространство изоморфно пространству арифметических векторов Rn.
Пример
L − множество 6-мерных арифметических векторов, у которых чётные коомпоненты равны нулю, {x =(x1, 0, x2, 0, x5, 0 )} − трёхмерное линейное пространство, изоморфное пространству арифметических векторов R3.
Действительно.
2. Заметка - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Как видно из приведенных выше соотношений, множество L − трёхмерное линейное пространство (три вектора e1, e2и e3 образуют базис), изоморфное пространству трёхмерных арифметических векторов R3.