Ряды функций комплексного переменного

Ряды функций комплексного переменного

Опр.

1. Ряд  называется равномерно сходящимся в области Q, если:

 , ,

2. Если N зависит от z, то сходимость неравномерная.

Теорема. Если   непрерывны на дуге L, ряд равномерно сходится на дуге L, , то .(ряд можно почленно интегрировать)

Теорема Вейерштрасса.

Если G- связная область, -аналитические в G,

Рекомендуемые материалы

 - ряд, равномерно сходящийся к  в G, то

1) f(z) аналитическая в G,

2) замкнутой области ряд из производных сходится равномерно к производной:

.

Док-во:

1) Возьмем произвольную точку z G и окружим ее контуром Г,

Тогда:;

;

; ;

;

;

;

перейдя к пределу, получим:

, таким образом f(z) аналитическая функция.

2) Возьмем  контур , такой что  внутри  .

Рассуждая также, как при доказательстве 1), получаем при n>N, z внутри .

  внутри .

Тоже самое можно сделать для  точки, принадлежащей замкнутой области (покрыть ее окружностью, внутри которой сходимость ряда равномерна). Таким образом, область  покрыта окружностями . Т.к.  замкнутая область   - компакт, следовательно можно выделить конечное подпокрытие: .

Информация в лекции "2.2 Система команд" поможет Вам.

     , таким образом доказана равномерная сходимость ряда производных в .

Следствие. Если выполнены условия теоремы Веерштрасса, то .

Теорема Абеля. Если , то если : -ряд сходится, -ряд расходится; -ряд сходится равномерно.

Утв. Если , то  аналитическая в круге радиуса R.

Док-во:

В силу теоремы Веерштрасса   аналитическая в кольце , но т.к. r выбирается произвольно, то аналитическая в круге.