Интеграл типа Коши

Интеграл типа Коши

Теорема. Если L – конечный контур, zL, , , f(z) непрерывная функция на L, , то  является аналитической в точке z, .

Док-во:

 -длина L.

Таким образом, разность между функциями меньше любого сколь угодно малого числа, т.е. равна нулю. Следовательно, функции равны.

Рекомендуемые материалы

Замечание. Продифференцировав F(z) по z, мы получили бы тот же результат, что и в теореме, но с меньшими усилиями. Однако мы не имеем права дифференцировать функцию комплексного переменного по параметру.

В лекции "Владимир Мономах" также много полезной информации.

Следствие. Интеграл Коши является частным случаем интеграла типа Коши.

Таким образом аналитическая функция бесконечное число раз дифференцируема и производная аналитической функции выражается через интеграл.

Теорема Морера. Если  непрерывна в области G, ,  не зависит от выбора контура, соединяющего точки  и z, то -аналитическая функция в области G.

Док-во:

  по лемме  , т.е. f(z) бесконечное число раз дифференцируема  f(z) аналитическая.