Дифференциальные уравнения высших порядков
Лекция 12. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальное уравнение n – ого порядка в общем виде записывается так:
.
Дифференциальное уравнение n – ого порядка в виде, разрешенном относительно старшей производной, выглядит так:
.
Решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция 
, обращающая его в тождество.
Общим решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция 
такая, что
1) при любом наборе констант 
эта функция является решением,
Рекомендуемые материалы
2) для любого набора начальных условий из области существования решения 
найдется набор констант , при котором функция удовлетворяет заданным начальным условиям, т.е. 
.
Заметим, что общее решение дифференциального уравнения n – ого порядка зависит ровно от n констант.
Частным решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется какое-либо из решений, входящих в общее решение (при конкретном выборе констант).
Общим интегралом дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция 
, сохраняющая свои значения на решениях дифференциального уравнения.
Интегральной кривой называется график частного решения.
Общее решение представляет собой совокупность интегральных кривых.
Обычно рассматривается одна из трех задач:
1) Найти общее решение дифференциального уравнения n – ого порядка,
2) Задача Коши – найти частное решение дифференциального уравнения n – ого порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям,
3) Краевая задача – найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, одна часть которых задана в точке 
, а другая часть в точке
.
Теорема Коши (существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения n – ого порядка ).
Пусть функция 
и ее частные производные по переменным 
определены и непрерывны в некоторой области 
.
Тогда для любой внутренней точки 
существует единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее этим начальным условиям, т.е. 
(через любую внутреннюю точку проходит единственная интегральная кривая).
Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка 
. Область существования и единственности решения 
заполнена непересекающимися интегральными кривыми. Через любую точку 
проходит единственная интегральная кривая. Однако через «точку» 
проходит бесконечно много интегральных кривых, все они различаются значениями 
. Заметим, что в 
«точка» представляет собой прямую 
.
Понижение порядка дифференциальных уравнений.
Мы умеем аналитически решать всего пять типов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах. Причем однородные, линейные и Бернулли тоже сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными.
Даже решить уравнение второго порядка, не говоря уж об уравнении n-го порядка – проблема. Поэтому стараются понизить порядок дифференциального уравнения, если это возможно, чтобы свести его к известным типам уравнений первого порядка.
Если правая часть дифференциального уравнения n-го порядка зависит только от x, то интегрируя его n раз, можно получить решение.
.
Но это – очевидный случай. Рассмотрим менее очевидные случаи.
Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
1) Уравнение не содержит явно y , его вид 
или 
.
Здесь применяется подстановка 
- вводится новая функция 
старой переменной. Уравнение сводится к уравнению первого порядка 
.
Пример. Найти общее решение уравнения 
и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
.
- общее решение. Найдем частное решение. 
. Частное решение 
.
2) Уравнение не содержит явно x , его вид 
или 
.
Здесь применяется подстановка 
- вводится новая функция 
новой переменной. Уравнение сводится к уравнению первого порядка 
.
Пример. Найти общее решение уравнения 
и его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
.
Либо 
- решение, либо 
,
- общее решение.
Найдем частное решение. 
,
- частное решение.
2) Однородное уравнение относительно 
.
Уравнение называется однородным относительно , если при замене 
уравнение не изменится.
Здесь применяется подстановка 
.
Пример. Найти общее решение уравнения 
- решение. 
,
Лекция "2.3. Особенности наращивания инженерной защиты" также может быть Вам полезна.
- общее решение.
3) Уравнения, обе части которых являются полными производными каких-либо функций.
Пример. 
.
Запишем уравнение в виде 
Существуют еще несколько случаев, которые встречаются реже и здесь не рассматриваются.
