Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений 1 порядка, изоклины

Лекция 11. Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений 1 порядка, изоклины. Особые точки и особые решения.

Рассмотрим интегральные кривые дифференциального уравнения 1 порядка . В любой точке плоскости OXY правая часть дифференциального уравнения известна, ее можно вычислить. Поэтому в любой точке плоскости известна и левая часть. Левая часть, исходя из геометрического смысла производной, задает тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой.

Следовательно, в любой точке плоскости можно определить угол наклона (к оси OX) касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку, т.е. определить направление вектора касательной к интегральной кривой.

Если в некоторой области плоскости задана вектор-функция, то говорят, что она задает в этой области векторное поле.

Поэтому геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, что оно задает в области определения G (x, y)  функции f(x, y) векторное поле направлений векторов касательных к интегральным кривым. Если интерпретировать дифференциальное уравнение механически, как скорость f(x, y) движения точки по траектории – интегральной кривой, то дифференциальное уравнение задает поле скоростей.

Изоклинами называются кривые в плоскости OXY, в каждой точке которой угол  наклона к оси OX касательной к интегральной кривой один и тот же . Уравнение изоклины: .

Строя изоклины как можно чаще, можно достаточно точно построить интегральные кривые, нанося на каждой изоклине соответствующее ей направление вектора касательной к интегральной кривой.. 

Пример.  

Рекомендуемые материалы

Уравнение изоклины

Можно предположить, что уравнение интегральной кривой   (это легко проверить: ).

Таким образом, интегральные кривые – окружности с центром в начале координат.

Понятие об особых точках и особых решениях дифференциального уравнения первого порядка.

Точка (x, y) называется не особой точкой дифференциального уравнения первого порядка , если существует ее окрестность, что через каждую точку этой окрестности проходит единственная интегральная кривая.

Все прочие точки называются особыми точками дифференциального уравнения первого порядка .

Особым решением называется решение, все точки (x, y) которого – особые.

Пример.

Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получим общее решение  и решение, не принадлежащее этому семейству – тривиальное решение .

Каждая точка оси OX – особая, так как через нее проходят как тривиальное решение, так и частное решение из семейства  .

 - особое решение.

Пример.

Заметим, что . Общее решение  (иначе ). Кроме того,  - тоже решение.  - особое решение.

Заметим, что на особом решении не выполняются условия теоремы Коши, гарантирующие единственность. В самом деле, в том и другом примерах  терпят разрыв при .

Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.

Рассмотрим два типа уравнений 1) .

Метод введения параметра.

Обозначим

В случае 1) ,     .

Найдем решение , подставим в ,

получим  - общее решение.

В случае 2)

Найдем решение , подставим в ,

получим   - общее решение.

Уравнение Лагранжа.  

Дифференцируем:

,

 - линейное уравнение.

Отыскиваем и, подставляя в уравнение Лагранжа, находим .

Пример. - уравнение Лагранжа.

,

 - линейное уравнение по .

Решаем его методом  подстановки

.

Уравнение Клеро.   . 

Уравнение Лагранжа превращается в уравнение Клеро, если в уравнении Лагранжа положить .

Дифференцируем обе части:

.

Лекция "Лекция 4 - Вычисление Z-передаточных функций" также может быть Вам полезна.

1)  - общее решение.

2) . Подставляя в уравнение, получим особое решение 

Пример.

1)  - общее решение

2)  - особое решение.