Лекция 4 - Вычисление Z-передаточных функций

Лекция № 4

Тема:

 Вычисление Z-передаточных функций.

План лекции:

1. -преобразование дробно-рациональных функций.

2. Учет экстраполятора при вычислении Z- передаточных функций.

3. Пример вычисления Z –передаточной функции.

1. -преобразование дробно-рациональных функций.

Рассмотрим вычисление Z -передаточной функции простей­шего соединения (см рис 8 ). В соответствии с формулой (12) и свойствами Z -преобразования Z -передаточная функция w(z) может быть найдена по известной весовой функции ПНЧ w(t) или по ее передаточной функции W(p). Связь между передаточными функциями          W(z) и W(p) задается  -преобразованием с последующей заменой  . Обозначим операцию выполнения  -преоб­разования с заменой  через . Тогда        

Рекомендуемые материалы

                                                                                               (15)

Приведем таблицу             -преобразования для некоторых часто встречающихся функций W(p) [l] .

Так как - преобразование обладает свойством линейно­сти, то в случае, если W(p) - дробно-рациональное выражение, вычисление Z -передаточных функций можно проводить следующим образом:

Передаточную функцию W(p) разложить на простейшие дроби

                                       .

2.Для каждой простейшей дроби  с помощью таблицы найти   - преобразование, т.е.

                                            .

По теореме линейности -преобразования записать  и провести необходимые преобразования.

2. Учет экстраполятора при вычислении Z- передаточных функций.

Однако предположение о том, что передаточная функция W(p) ПНЧ есть дробно-рациональное выражение, не всегда выполняется. Как отмечалось ранее

                                        ,

где передаточные функции формирователя и собствен­но непрерывной части соответственно. Если обычно явля­ется дробно-рациональной функцией, то  будет таковой лишь при некоторых упрощающих предположениях (см. [4] ). Обычно  является трансцендентной функцией p, например, для экстраполятора нулевого порядка

                                            .

Рассмотрим этот случай и определим для него порядок нахождения Z-передаточной функции W(z). Пусть - дробно-рациональная функция

                                         ,                                         (16)

где , - многочлены степени m и n соответственно.   Пусть- полюсы передаточной функции (16). Счи­тая, что все полюсы первого порядка, разложим выражение (16) на простейшие дроби:

                                  .

Тогда

или

                                    .

В соответствии со свойствами -преобразования множитель  может быть вынесен за знак преобразования (см. курс “Математические основы ТАУ” или [6,прил.2]). Тогда

                           (17)

Найдем      . Очевидно, что

                                       .

Пользуясь таблицей  -преобразования с учетом теоремы линей­ности, получим

                                       (18)

Подставив выражение (18) в формулу (17), найдем

              ,          (19)

т.е. получена формула для вычисления  Z-передаточной функ­ции W(z) разомкнутой системы. Отметим, что при , а также при наличии кратных полюсов в формуле возникают неопре­деленности. Они могут раскрываться обычным способом, по прави­лу Лопиталя. Кроме того, формулу (17)) можно записать в виде

Здесь под знаком  -преобразования стоит дробно-рацио­нальная функция. Определив  так, как излагалось выше (исполь­зуя разложение выражения на простейшие дроби), можно легко найти Z -передаточную функцию разомкнутой системы.

В общем случае для определения Z-передаточной функции W(z) можно использовать зависимость, полученную ранее в курсе «Математические основы ТАУ»:

                                     (20)

где s_i – полюсы передаточной функции W(s) ПНЧ ().

Следует, однако, иметь в виду, что формула (20) справедлива, если выполняется условие

                                                                                      (21)

Например, если передаточная функция ПНЧ имеет вид  и степень многочлена  превосходит степень  не менее чем на 2 порядка, то условие (21 выполняется, и тогда из зависимости (20) получим

                                                                        (22)

В случае, если передаточная функция ПНЧ содержит выражение 1-е^-Tp, ее можно представить в виде

где  - дробно-рациональная функция.

Тогда

и

                                                       (23)

где  - полюсы функции .

3. Пример вычисления Z –передаточной функции.

Найдем Z-передаточную функцию разомкну­той системы, состоящей из ИЭ с экстраполятором нулевого по­рядка и непрерывной части с передаточной функцией                                                       .

Передаточная функция ПНЧ имеет вид

.

Для нахождения W(z) применим формулу (23):

.

Полюсы выражения              следующие:.  

Тогда получим

;

Отсюда следует

Этот же результат можно получить с помощью таблицы                      -преоб­разования, а именно

.

Проводя разложение на простейшие дроби, найдем

Отметим некоторые свойства Z-передаточных функций. Передаточная функция есть дробно-рациональная функция z. При использовании модифицированного Z-преобразования числитель этой функции зависит от e. Порядком передаточной функции  назовем степень n ее знаменателя. Порядок дискретной передаточной функции равен степени знаменателя передаточной функции непрерывной части системы .

Полюсы  Z-передаточных функций  и  связаны с полюсами  передаточной функции  непрерывной части и определяются соотношением

                                                                               (24)

Рассмотрим задачу определения реакции дискретной системы с передаточной функцией  на входной сигнал . Определив Z-преобразование входного сигнала , запишем уравнение системы в изображениях:

                                                                                       (25)

Таким образом, если Z-преобразование выходной величины известно, процесс на выходе может быть найден по формуле обратного Z-преобразования:

Для нахождения  можно применить известную формулу

где  - полюсы функций

Для вычисления обратного Z-преобразования, кроме того, может быть использовано разложение изображения в ряд Лорана [4]. Наконец, по известной Z-передаточной функции нетрудно составить соответствующее разностное уравнение импульсной системы. Пусть

Вам также может быть полезна лекция "Тема 8. Основные системы мозга (часть 1)".

Тогда уравнение (25) можно переписать в виде

Переходя к оригиналам и учитывая теорему о смещении аргумента решетчатой функции, получим

Это соотношение представляет собой разностное уравнение системы, с помощью которого можно рассчитать процесс на выходе дискретной САУ.