Производная сложной функции

Производная сложной функции

            Пусть даны две векторные функции и , причем область определения второй функции имеет непустое пересечение с областью значений первой.

            Для всякой точки  из области определения функции и такой, что  определено, задана тем самым сложная функция (композиция исходных функций):

            Поставим вопрос о дифференцируемости функции , считая, что в точке  дифференцируема функция , а в точке дифференцируема функция . Обозначим приращение переменной  через , соответствующее приращение  через . Тогда, ввиду дифференцируемости функций и  в соответствующих точках , получим:

            Здесь векторы и  бесконечно малы по норме по сравнению с нормамии  соответственно.

            Мы видим, что в линейной части приращения функции  сформировалось произведение операторов , действующее на вектор . Но для того, чтобы утверждать, что полученное произведение операторов действительно является производной сложной функции в точке , нужно доказать, что

                                               (1)

Рекомендуемые материалы

            Используя свойства нормы и ограниченность линейного оператора  (см. п. 1.5 и п. 1.19), числитель дроби в (1) можно ограничить сверху следующим образом:

            Вычислим тогда предел

            Первый предел в написанной выше сумме равен нулю, так как (в силу дифференцируемости функции  в точке ) , а величина  ограничена как норма линейного оператора, действующего из одного конечномерного линейного пространства в другое.

            Второй предел распишем так:

            Первый сомножитель равен нулю ввиду дифференцируемости функции  в точке , а второй ограничен в силу непрерывности функции в точке . Значит, весь вычисляемый предел равен нулю, а с ним и предел (1) (по «признаку двух милиционеров»).

            Тем самым доказана теорема:

            Теорема 2.4 (теорема о производной сложной функции). Если функция  дифференцируема в точке , а функция  дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке , и .

            Как видно, закон дифференцирования сложной функции в векторном случае похож на подобный закон в одномерном случае, но вместо перемножения производных в точке (чисел) имеем композицию линейных операторов.

            Переходя к матрицам, получим:

            ,       (2)

где .

            Для числовой функции  формула примет вид:

                                                           (3)

(указание на конкретную точку опущено).

            Первый дифференциал функции  будет поэтому иметь вид:

                                                                            (4)

Обратите внимание на лекцию "8. Редакционно-издательский маркетинг".

(через  обозначены приращения переменных ).

            Подставляя в (4) выражения для частных производных функции  из (3), получим:

             (5)

            В (5) внутренняя сумма (по ) есть не что иное, как дифференциал функции , зависящей от переменных . Тогда можно переписать (5) в виде:

                                                      (6)

            Сопоставляя выражения (4) и (6), мы видим, что это две разные записи первого дифференциала одной и той же функции, но в (6) учитывается только непосредственная зависимость  от  (компоненты вектора  рассматриваются как независимые переменные функции ), тогда как в (4) переменные  раскрыты как функции вектора , и функция  рассматривается уже как функция, зависящая от переменных  через переменные , т.е. как сложная функция . Но видно также, что по форме (4) и (6) одинаковы - переход к новым переменным не влияет на форму первого дифференциала. Это свойство называется свойством инвариантности формы первого дифференциала.