Достаточное условие дифференцируемости

Достаточное условие дифференцируемости

            В этом параграфе мы докажем одно важное достаточное условие дифференцируемости функции в точке (необходимыми условиями дифференцируемости являются, как мы показали выше, непрерывность функции в точке, существование всех частных производных в точке, дифференцируемость по любому направлению в точке). Мы докажем это условие во всех подробностях для частного случая - числовой функции двух переменных. Однако доказательство для числовой функции произвольного числа переменных принципиально не отличается от случая двух переменных. Тем самым это доказательство можно расценивать как доказательство условия дифференцируемости любой числовой функции. А так как в силу утверждения 2.10 вопрос о дифференцируемости произвольной векторной функции сводится к вопросу о дифференцируемости ее координатных функций, то излагаемое ниже доказательство есть, по существу, доказательство достаточного условия дифференцируемости в общем случае.

            Теорема 2.3. Если функция  имеет в точке  обе частные производные, которые также непрерывны в этой точке и определены в некоторой ее окрестности, то функция дифференцируема в точке .

            (Таким образом, помимо необходимого условия существования частных производных в точке вводятся еще два условия: 1) непрерывность частных производных в точке и 2) существование этих производных в некоторой окрестности данной точки).

            Доказательство. Рассмотрим на плоскости (в декартовых координатах) некоторую точку  вместе с какой-то ее - окрестностью так, что выполнены условия теоремы 2.3. Придадим приращения переменным: (переменная ) и (переменная ) так, что  (см. рис. 2.9).

Рис. 2.9

            Вычислим приращение функции:

            Частные приращения, записанные в квадратных скобках, преобразуем, используя теорему Лагранжа (мат. анализ, первый семестр!), согласно которой приращение , где  при условии, что функция непрерывна на отрезке  и дифференцируема на интервале . Применимость теоремы Лагранжа в данном случае обоснована тем, что по каждой из переменных функция (по условию теоремы и выбору величин  и )  дифференцируема и, следовательно, непрерывна во всем прямоугольнике .

Рекомендуемые материалы

            Тогда, применяя теорему Лагранжа, получим:

,    (1)

где .

При этом      

                       (2)

Подставляя (2) в (1) , получим:

(3)

Так как частные производные непрерывны в точке, то  при  (т.е. при ).

Тогда , и, следовательно, стоящая в правой части (3) линейная форма есть дифференциал функции  в точке .

Теорема доказана.

Замечание. Можно несколько более подробно проанализировать предел из последнего абзаца доказательства теоремы 2.3. Без ограничения общности можно рассматривать приращения  и  как величины одного порядка. Тогда можно написать: , где - ограниченная величина. Следовательно,  

(Величина  ограничена, а  при ).

            Определение 2.17. Функция  называется непрерывно дифференцируемой в точке , если все ее частные производные определены и непрерывны в этой точке и, кроме того, определены в некоторой окрестности этой точки.

            Определение 2.18. Функция  называется функцией класса , если она непрерывно дифференцируема в каждой точке открытого множества .

            При этом используют обозначение .

            Итак, из теоремы 2.3 следует, что всякая непрерывно дифференцируемая функция дифференцируема.

            Обратное, однако, неверно. Это показывает, что условие теоремы 2.3 не является необходимым условием дифференцируемости.

            Мы проанализируем сейчас весьма интересный пример, показывающий это.

            Рассмотрим функцию

            Докажем, что в точке  эта функция дифференцируема, но условие теоремы 2.3 не выполняются.

            Прежде всего, вычислим частные производные в данной точке. Вычисляем их непосредственно по определению:

(предел произведения бесконечно малой величины на ограниченную равен нулю - мат. анализ, первый семестр). Точно так же

            Таким образом, обе частные производные в рассматриваемой точке существуют и равны нулю. Заметим,  что и по каждому направлению, задаваемому направляющим вектором произвольной прямой  наша функция в начале координат дифференцируема (почему?).

            С другой стороны, приращение функции в точке составит

Иначе, это приращение можно представить в виде:

Рекомендуем посмотреть лекцию "4.3.2.Степные ландшафты.".

что означает дифференцируемость функции в данной точке.

            Теперь вычислим частные производные в произвольной точке, отличной от начала координат.

            Первое слагаемое в написанном выше выражении стремится к нулю при стремлении к нулю обеих переменных, но второе слагаемое при этом не имеет ни конечного, ни определенного знака бесконечного предела в начале координат. Следовательно, частная производная по  разрывна в точке . Совершенно аналогично анализируется и частная производная по , равная

            Итак, функция дифференцируема в точке , но не является в этой точке непрерывно дифференцируемой.