Производная сложной функции
Производная сложной функции
Пусть даны две векторные функции и
, причем область определения второй функции имеет непустое пересечение с областью значений первой.
Для всякой точки из области определения функции
и такой, что
определено, задана тем самым сложная функция (композиция исходных функций):
Поставим вопрос о дифференцируемости функции , считая, что в точке
дифференцируема функция
, а в точке
дифференцируема функция
. Обозначим приращение переменной
через
, соответствующее приращение
через
. Тогда, ввиду дифференцируемости функций
и
в соответствующих точках , получим:
Здесь векторы и
бесконечно малы по норме по сравнению с нормами
и
соответственно.
Мы видим, что в линейной части приращения функции сформировалось произведение операторов
, действующее на вектор
. Но для того, чтобы утверждать, что полученное произведение операторов действительно является производной сложной функции в точке
, нужно доказать, что
(1)
Рекомендуемые материалы
Используя свойства нормы и ограниченность линейного оператора (см. п. 1.5 и п. 1.19), числитель дроби в (1) можно ограничить сверху следующим образом:
Вычислим тогда предел
Первый предел в написанной выше сумме равен нулю, так как (в силу дифференцируемости функции в точке
)
, а величина
ограничена как норма линейного оператора, действующего из одного конечномерного линейного пространства в другое.
Второй предел распишем так:
Первый сомножитель равен нулю ввиду дифференцируемости функции в точке
, а второй ограничен в силу непрерывности функции
в точке
. Значит, весь вычисляемый предел равен нулю, а с ним и предел (1) (по «признаку двух милиционеров»).
Тем самым доказана теорема:
Теорема 2.4 (теорема о производной сложной функции). Если функция дифференцируема в точке
, а функция
дифференцируема в точке
, то сложная функция
дифференцируема в точке
, и
.
Как видно, закон дифференцирования сложной функции в векторном случае похож на подобный закон в одномерном случае, но вместо перемножения производных в точке (чисел) имеем композицию линейных операторов.
Переходя к матрицам, получим:
, (2)
где .
Для числовой функции формула примет вид:
(3)
(указание на конкретную точку опущено).
Первый дифференциал функции будет поэтому иметь вид:
(4)
Обратите внимание на лекцию "8. Редакционно-издательский маркетинг".
(через обозначены приращения переменных
).
Подставляя в (4) выражения для частных производных функции из (3), получим:
(5)
В (5) внутренняя сумма (по ) есть не что иное, как дифференциал функции
, зависящей от переменных
. Тогда можно переписать (5) в виде:
(6)
Сопоставляя выражения (4) и (6), мы видим, что это две разные записи первого дифференциала одной и той же функции, но в (6) учитывается только непосредственная зависимость от
(компоненты вектора
рассматриваются как независимые переменные функции
), тогда как в (4) переменные
раскрыты как функции вектора
, и функция
рассматривается уже как функция, зависящая от переменных
через переменные
, т.е. как сложная функция
. Но видно также, что по форме (4) и (6) одинаковы - переход к новым переменным не влияет на форму первого дифференциала. Это свойство называется свойством инвариантности формы первого дифференциала.