Касательная плоскость и нормаль. Поверхности уровня
Касательная плоскость и нормаль. Поверхности уровня
Определение 2.19. Гиперповерхность в пространстве 
- это множество точек, удовлетворяющих уравнению
, или (1)
, (1а)
где 
- числовая функция векторного аргумента.
Уже знакомые нам примеры гиперповерхностей - линейное многообразие (
-мерная гиперплоскость), задаваемое уравнением
, где
- постоянный вектор (вектор «нормали»), 
- вещественная константа; и гиперповерхность второго порядка, задаваемая уравнением (1) из п. 1.18.
Дальше, ради краткости, будем говорить, просто «поверхность», «плоскость», какова бы ни была размерность пространства.
Рекомендуемые материалы
Пусть точка 
принадлежит поверхности (1), и пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.
Определение 2.20. Касательная плоскость к поверхности, задаваемой уравнением (1), в точке 
- это плоскость, проходящая через точку , нормалью к которой служит вектор градиента функции в данной точке.
Определение 2.21. Нормаль к поверхности (1) в точке - это прямая, проходящая через точку , направляющим вектором которой является вектор градиента функции в точке .
Из определений сразу следует, что касательная плоскость в точке задается уравнением:
(3)
а нормаль в точке может быть определена параметрическим уравнением
(4)
Уравнение (3) может быть переписано в координатной форме:
(5)
Параметрическое уравнение (4) прямой, как известно из курса аналитической геометрии, можно переписать в виде системы канонических уравнений:
(6)
При определенных условиях уравнение (1) определяет в некоторой окрестности точки 
неявную функцию
(7)
Тогда, если 
и выполнены все условия теоремы 2.6, уравнение (5) может быть преобразовано к виду
(8)
Коэффициенты в сумме, стоящей в правой части уравнения (8), являются ни чем иным, как производными функции (7) в точке 
. Тогда, переобозначая 
, запишем (8) в векторной форме:
, (9)
где 
Уравнение (9) дает приращение «вдоль касательной»: его правая часть есть первый дифференциал неявной функции (7) в точке . Это позволяет нам понять геометрический смысл первого дифференциала: первый дифференциал функции в точке есть приращение, взятое вдоль касательной к поверхности, определяющей функцию, в данной точке.
Образно здесь можно рассуждать так: если мы, находясь в заданной точке поверхности, отправимся в путешествие по самой поверхности, то наше перемещение по координате 
совпадет с приращением самой функции (7). Но если мы, вместо того, чтобы идти по поверхности, пойдем по касательной к ней в данной точке, то наше перемещение по координате будет уже приращением не самой функции, а приращением вдоль касательной, приращением некоторой линейной функции. Но выполнение всех условий дифференцируемости гарантирует, что ошибка при упомянутой замене функции некоторым ее линейным приближением бесконечно мала по сравнению с размерами той окрестности исходной точки, в рамках которой мы путешествуем. Если мы, идя по касательной, думаем, что идем по поверхности, то наше заблуждение не столь уж велико. В этом и состоит геометрическая сущность дифференцируемости.
Мы провели рассуждения для неявной функции, определенной уравнением (1). Если же функция вида (7) задана явно, то это частный случай рассмотренного, ибо тогда можно положить
,
и 
, а 
.
Заметим, что приведенное аналитическое определение касательной плоскости, в одномерном случае сводящееся к известному определению касательной к кривой на плоскости, допускает как раз в этом простейшем случае содержательную, «наивную» геометрическую мотивировку. Исходя из обычного «школьного» понимания производной как «предела отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю» - 
, - мы получаем такую «картинку»: чем меньше приращение 
, тем ближе «секущая» подходит к «касательной» (см. рис. 2.12), где касательная понимается «наивно геометрически» (как касательная к окружности в школьной геометрии).
Рис. 2.11
В многомерном случае эта картинка получается в сечениях исследуемой поверхности плоскостями, которые проходят через данную точку параллельно координатным плоскостям.
Поверхности уровня
Определение 2.22. Поверхностью уровня числовой функции
(10)
называется поверхность, определяемая уравнением
(11)
для произвольной фиксированной числовой константы 
.
В случае функции двух переменных естественно говорить о линии уровня.
Так для функции 
(графиком которой является гиперболический параболоид - см. п. 1.18), семейство линий уровня (при различных ) есть семейство равнобочных гипербол:
,
причем при 
гипербола вырождается в пару прямых 
, а при 
получаем семейство сопряженных гипербол, т.е. гипербол с фокусами на оси ординат.
Фиксируя точку из области определения функции (10), получим значение функции 
в этой точке. Тогда, полагая в (11) 
, получим поверхность уровня, проходящую через точку .
Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 8. Реализаторы рекламы.
Касательная плоскость к поверхности (11) в точке задается, как следует из проведенного выше анализа, уравнением
Это значит, что градиент функции в точке нормален («перпендикулярен») поверхности уровня, проходящей через данную точку (см. рис. 2.13).
Рис. 2.13
Случай, изображенный на рис. 2.13 (а) соответствует тому, что «движение» вдоль касательной к линии уровня есть движение в направлении возрастания функции. На рис. 2.13 (б) представлена противоположная ситуация. Какие еще ситуации возможны в подобном случае?
