Билеты к экзкамену
Билеты к экзкамену.
1.
1) Степенной ряд. Теорема Абеля. Интервал сходимости и его нахождение.
2) Теорема Коши для односвязной области. Определение интеграла в ТФКП.
3) Разложить в ряд Лорана f(z)=1/(z2-3z+2 , 1<|z|<2
4)В тригонометрический ряд Фурье f(x)=|x-2| , -3<|x|<3
4.
1) Признак Лейбница и следствие (без доказательства) из него.
2) Дать определение пределу функции комплексного переменного. Доказать существование этого предела. (?)
Рекомендуемые материалы
3) Разложить в ряд по степеням (x+4) функцию f(x)=1/(x2+3x+2)
4) Вычислить интеграл по замкнутому контуру ∫|z|=2 cos(z)/(z2+1) (через теорию вычетов)
5.
1) Неравенство Парсеваля. Неравенство Бесселя. Теорема о лучшей опроксимации функции в смысле среднеквадратичного отклонения.
2) Определение функции комплексного переменного и предела комплексной функции комплексного переменного. Необходимые и достаточные условия существования предела функции комплексного переменного и пределов её действительной и мнимой частей.
3) f(x)=sin(1/x)cos(1/x2) – найти особые точки, их характер и вычеты в этих точках.
4) cos2(x/3) разложить в ряд Тейлора.
6.
1) Доказать расходимость гармонического ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
2) Теорема Абеля. Круг сходимости. Поведение точки на границе круга.
3) По замкнутому контуру С ∫sin(z)dz/[z2(z2-4)] , C: |z|=3
4) Разложить в ряд Фурье по sin f(x)=1-x , 0<x<1
7.
1) Основные свойства рядов. Теорема об остатке ряда, об умножении ряда на число, о сложении и вычитании рядов.
2) Определение функции комплексного переменного. Необходимое условие дифференцируемости функции. Условие Коши-Римана.
3) В ряд Лорана f(z)=1/(z2-3iz-2) в отрезке 1<|z|<2
4) Разложить в ряд Фурье f(x)=x , 1<x<3
8.
1) Сравнительные признаки сходимости, расходимости рядов.
2) Действительные, мнимые части аналитической функции как гармонические. Нахождение действительной части по мнимой и наоборот.
3) ∑ln(n+1)(x-1)n/n+1 сходимость, расходимость на концах интервалов.
4) По замкнутому контуру ∫|z|=3 sin(z)dz/[z2(z2-4)]
10.
1) Доказать признак Коши с радикалом.
2) Разложение ez, cos(z), sin(z). Вывести формулу Эйлера и вывести свойства функции ez.
3) Разложить f(z)=|x+2| на отрезки от -4 до 4 в тригонометрический ряд Фурье.
4) Разложить в ряд Лорана для 1<|z|<2 для функции f(z)=1/(z2-3z+2).
14.
1) Сходимость степенного ряда.
2) Мнимая, действительная часть комплексной функции. мнимая↔действительная.
3) 1-x в ряд Фурье по cos.
4) по замкнутому контуру ∫|z-1|=1 [sinПz/(1-z2)2]dz
15.
1) Определение равномерной сходимости функционального ряда. Доказать принцип Витерштрасса.
2) Теорема о разложимости аналитической функции в комплексной плоскости. Разложение.
3) cos(z)/[(z2+1)(z-П/2)] Найти особые точки и вычеты в них.
4) f(x)= 2, -П<x<0
x, 0<x<П Разложить в ряд Фурье.
21(20).
1) Интегральный признак Коши сходимости рядов. Ряд Дирихле.
2) Вычет бесконечно удалённой точки. Теорема о сумме вычетов.
3) f(x)=3-|x| -3≤x≤3 Разложить в тригонометрический ряд Ферье.
4) f(z)=1/(z+z2) разложить по степеням z.
22.
1) Ряд Тейлора. Доказать теорему представления функции в ряд Тейлора. Доказать теорему о единственности разложения в ряд Тейлора.
2) Классификация бесконечно удалённых точек по ряду Лорана. Пусть zo – изолированная точка. Доказать справедливость lim(z-zo)m f(z) Û∈/ (не принадлежит) {0;∞}⇔ ∑n=-m∞ Cn(z-zo)n, C-m≠0.
3) Найти по замкнутому контуру С ∫[z sh(z)/(z2-1)2]dz , |z|=2
4) f(x)= 1, 0<x<1
x, 1≤x≤4 разложить в ряд Фурье по cos.
23 (21).
1) Условия разложимости в тригонометрический ряд Фурье. Разложение функции на отрезке от нуля до L в тригонометрический ряд.
2) Теорема Коши об интеграле аналитической функции.
3) ∑n=0∞(-1)n (x-3)n/[(2n+1)√(n-1)] интервал сходимости. Исследовать на концах.
4) по замкнутому контуру∫|z|=2 {ez/[z2(z+1)]}dz.
24 (21).
1) Необходимый признак сходимости ряда. Доказать расходимость гармонического ряда.
2) Вывести интегральную формулу Коши.
3) f(z)=ez/[z3(z-1)] особые точки и вычеты.
4) f(z) -2, -2≤x≤0
2-x, 0≤x≤2 в ряд Фурье.
25.
1) Признак сравнения сходимости и расходимости знакоположительных рядов.
2) Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
3) Разложить в ряд Фкрье f(z)=ex 0<x<П
4) по замкнутому контуру C ∫ch(z)/[z(z-2)2] С: |z-2|=1.
26.
1) Определение вычета. Основная теорема о вычетах и о сумме вычетов.
2) Интегральный признак Коши для сходимости, расходимости, знакоположительного ряда.
3) f(x)= x, 0<x<2
4-x, 2≤x<4 разложить по cos в тригонометрический ряд Фурье.
4) В окрестности точки z0=0 разложить в ряд Лорана f(z)=z2cos(1/z)
29.
1) Вывести интегральную формулу Коши.
2) Доказать равномерную сходимость степенного ряда в С (теорема Абеля)
3) f(z)=z2cos(1z) разложить в ряд Лорана в окрестности z=0. Найти вычет и классифицировать эту точку.
4) Разложить в ряд Фурье f(z)= 1+x при -3<x<0
Информация в лекции "34. Внутримолекулярная динамика белка" поможет Вам.
1-x при 0<x<3
30.
1) Равномерная сходимость ряда. Доказать признак Вейерштрасса.
2) Ряд Лорана. Доказать условие представления функции …вещ.(?).. суммы(?) её ряда Лорана.
3) Найти интервал сходимости и исследовать на границе ∑n=1∞ √(n2+2)(x-2)n/ корень третьей степени из (n7+3n).
4) Вычислить интеграл по замкнутому контуру ∫|z+2|=1 ch(Пz)dz/[z(z+2)2]
