Приложения двойного интеграла
Лекция 2. Приложения двойного интеграла.
Теорема. Пусть установлено взаимно однозначное соответствие областей Dxy и Duv с помощью непрерывных, имеющих непрерывные частные производные функций . Пусть функция f(x,y) непрерывна в области Dxy. Тогда
, где
- якобиан (определитель Якоби).
Доказательство (нестрогое). Рассмотрим элементарную ячейку в координатах u, v: Q1, Q3, Q4, Q2 – прямоугольник со сторонами du, dv. Рассмотрим ее образ при отображении - ячейку P1, P3, P4, P2.
| Запишем координаты точек Q1 (u, v), Q2 (u+du, v), Q3 (u, v+dv), Рекомендуемые материалыПриложение определенного интеграла -70% Задача 6.1 + Задача 6.2 Приложение определенного интеграла -62% Приложение определенного интеграла -62% Приложение определенного интеграла -62% Приложение определенного интеграла |
Приближенно будем считать ячейку P3, P4, P1, P2.параллелограммом, образованным сторонами . Вычислим площадь этой ячейки как площадь параллелограмма.
.
Подставляя в интеграл площадь параллелограмма в качестве площади ячейки dxdy, получим .
Следствие. Рассмотрим частный случай – полярную систему координат :
.
.
Пример. Вычислить площадь внутри кардиоиды .
.
Пример. Вычислить объем внутри прямого кругового цилиндра , ограниченный плоскостью
в первом октанте.
.
Для каждой задачи можно выбрать ту систему координат, в которой вычисления проще. Декартова система координат удобна для прямоугольных областей. Если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то пределы интегрирования в повторном интеграле постоянны. Полярная система координат удобна для круга, кругового сектора или сегмента. Если центр круга находится в начале координат, то пределы интегрирования по углу и радиусу постоянны.
Приложения двойного интеграла.
С помощью двойного интеграла можно вычислить объем цилиндрического тела, площадь и массу плоской области. От этих задач мы и пришли к двойному интегралу.
Но возможны и менее очевидные приложения.
С помощью двойного интеграла можно вычислять площадь поверхности, определять статические моменты, моменты инерции и центр тяжести плоской области.
Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.
| Пусть поверхность s, площадь которой надо вычислить, задана уравнением F(x, y, z) = 0 или уравнением z = f(x, y). Введем разбиение s на ячейки Dsk, не имеющие общих внутренних точек, площадью Dvk. Пусть область s и ячейки Dsk проектируются на плоскость OXY в область D и ячейки Ddk площадью Dsk. Отметим на ячейке Ddk точку Mk. В точке Qk (ячейки Dsk), которая проектируется в точку Mk, проведем единичный вектор нормали nk {cosak, cosbk, cosgk} к поверхности s и касательную плоскость. Если приближенно считать равными площадь Dvk ячейки Dsk и площадь ее проекции на касательную плоскость, |
то можно считать справедливым соотношение Dvk cosgk = Dsk. Выразим отсюда
Dvk=Dsk/ cosgk. Будем измельчать разбиение при условии max diam Dsk ®0, что для кусочно-гладкой поверхности, не ортогональной плоскости OXY, равносильно max diam Ddk ®0. Вычислим площадь поверхности как двойной интеграл
.
Сюда остается лишь подставить .
Если поверхность s задана уравнением F(x, y, z) = 0, то
Поэтому в этом случае ,
.
.
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то уравнение это можно
свести к уравнению F(x, y, z) = 0 и применить выведенную формулу:
.
Пример. Вычислить площадь поверхности конуса , ограниченной плоскостями
|
|
Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции.
Пусть задана плотность вещества плоской материальной области D r(x, y). Выделим элементарную ячейку с массой dm и применим к ней известные формулы для материальной точки:
Статические моменты относительно осей OX, OY dmx = y dm = y r(x, y) ds,
dmy = x dm = x r(x, y) ds.
Моменты инерции относительно осей OX, OY dJx = y2 dm = y2 r(x, y) ds,
dJy = x2 dm = x2 r(x, y) ds.
Момент инерции относительно начала координат dJ0 = dJx + dJy.
Двойным интегралом по всей области D вычисляем те же характеристики для области D.
,
,
,
, J0 = Jx + Jy.
Координаты центра тяжести , где
- масса области D.
Пример. Вычислить координаты центра тяжести полукруга с заданной плотностью
.
(это было ясно заранее, по симметрии полукруга относительно OYи независимости плотности от координаты x).
Поэтому .
Пример. Вычислить момент инерции полукруга с заданной плотностью
относительно прямой
.
.
Эта формула известна в теоретической механике.
Замечание о несобственных двойных интегралах.
Точно так же, как и в определенных интегралах, вводят несобственные двойные интегралы двух типов: интеграл от непрерывной функции по неограниченной области (первого рода) и интеграл от разрывной функции по ограниченной области (второго рода).
Интеграл первого рода определяют как предел последовательности двойных интегралов от непрерывной функции по «расширяющимся» областям, стремящимся к заданной неограниченной области. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся.
Интеграл второго рода[1] определяют как предел последовательности интегралов от непрерывной функции по «расширяющимся» областям, стремящимся к заданной области и исключающим точку разрыва. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся.
Пример. Показать, что несобственный интеграл первого рода по области
сходится при
и расходится при
.
Показать, что несобственный интеграл первого рода по области
сходится при
и расходится при
.Вычислим этот интеграл по области
.
.
=
=
Часто расширение математических знаний позволяет решать задачи, которые не получались старыми методами.
Пример. Вычислить интеграл Пуассона .
Неопределенный интеграл «не берется». Но двойной интеграл по области
равен
I =.
Информация в лекции "10 Гипотезы о состоянии социальной организации" поможет Вам.
С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим
I = .
Поэтому =
. По четности
.
______________________
6 предполагается, что в области есть только одна точка разрыва функции
[1] предполагается, что в области есть только одна точка разрыва функции