Приложения двойного интеграла

Лекция 2. Приложения двойного интеграла.

Теорема. Пусть установлено взаимно однозначное соответствие областей D_xy и D_uv с помощью непрерывных, имеющих непрерывные частные производные функций . Пусть функция f(x,y) непрерывна в области D_xy. Тогда

, где  - якобиан (определитель Якоби).

Доказательство (нестрогое). Рассмотрим элементарную ячейку в координатах u, v: Q₁, Q₃, Q₄, Q₂ – прямоугольник со сторонами du, dv. Рассмотрим ее образ при отображении  -  ячейку P₁, P₃, P₄, P₂.

Приближенно будем считать ячейку P₃, P₄, P₁, P₂.параллелограммом, образованным сторонами . Вычислим площадь этой ячейки как площадь параллелограмма.

 .

Подставляя в интеграл площадь параллелограмма в качестве площади ячейки dxdy, получим .

Следствие. Рассмотрим частный случай – полярную систему координат : . .

Пример. Вычислить площадь внутри кардиоиды .

.

Пример. Вычислить объем внутри прямого кругового цилиндра , ограниченный плоскостью  в первом октанте.

 .

Для каждой задачи можно выбрать ту систему координат, в которой вычисления проще. Декартова система координат удобна для прямоугольных областей. Если стороны прямоугольника параллельны координатным осям, то пределы интегрирования в повторном интеграле постоянны. Полярная система координат удобна для  круга, кругового сектора или сегмента. Если центр круга находится в начале координат, то пределы интегрирования по углу и радиусу постоянны.

Приложения двойного интеграла.

С помощью двойного интеграла можно вычислить объем цилиндрического тела,  площадь и массу плоской области. От этих задач мы и пришли к двойному интегралу.

Но возможны и менее очевидные приложения.

С помощью двойного интеграла можно вычислять площадь поверхности, определять статические моменты, моменты инерции и центр тяжести плоской области.

Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла.

то можно считать справедливым соотношение Dv_k cosg_k = Ds_k. Выразим отсюда

Dv_k=Ds_k/ cosg_k. Будем измельчать разбиение при условии max diam Ds_k ®0, что для кусочно-гладкой поверхности, не ортогональной плоскости OXY, равносильно max diam Dd_k ®0. Вычислим  площадь поверхности как двойной интеграл

.

Сюда остается лишь подставить .

Если поверхность s задана уравнением F(x, y, z) = 0, то

Поэтому в этом случае ,  .

.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), то уравнение это можно

свести к уравнению F(x, y, z) = 0 и применить выведенную формулу:

.

Пример. Вычислить площадь поверхности конуса , ограниченной плоскостями

Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции.

Пусть задана плотность вещества плоской материальной области D r(x, y). Выделим элементарную ячейку с массой dm и применим к ней известные формулы для материальной точки:

Статические моменты относительно осей OX, OY   dm_x = y dm = y r(x, y) ds,

                                                                                       dm_y = x dm = x r(x, y) ds.

Моменты инерции относительно осей OX, OY        dJ_x = y² dm = y² r(x, y) ds,

                                                                                    dJ_y = x² dm = x² r(x, y) ds.

Момент инерции относительно начала координат dJ₀ = dJ_x + dJ_y.

Двойным интегралом по всей области D вычисляем те же характеристики для области D.

, , , , J₀ = J_x + J_y.

Координаты центра тяжести , где  - масса области D.

Пример. Вычислить координаты центра тяжести полукруга  с заданной плотностью .

 (это было ясно заранее, по симметрии полукруга относительно OYи независимости плотности от координаты x).

Поэтому .

Пример. Вычислить момент инерции полукруга  с заданной плотностью  относительно прямой .

.

Эта формула известна в теоретической механике.

Замечание о несобственных двойных интегралах.

Точно так же, как и в определенных интегралах, вводят несобственные двойные интегралы двух типов: интеграл от непрерывной функции по неограниченной области (первого рода) и интеграл от разрывной функции по ограниченной области (второго рода).

Интеграл первого рода определяют как предел последовательности двойных интегралов от непрерывной функции по «расширяющимся» областям, стремящимся к заданной неограниченной области. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Интеграл второго рода[1] определяют как предел последовательности интегралов от непрерывной функции по «расширяющимся» областям, стремящимся к заданной области и исключающим точку разрыва. Если предел существует и конечен, то интеграл называется сходящимся, если предел не существует или бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Пример. Показать, что несобственный интеграл первого рода   по области  сходится при  и расходится при .

Показать, что несобственный интеграл первого рода   по области  сходится при  и расходится при .Вычислим  этот интеграл по области .

.

=

=

            Часто расширение математических знаний позволяет решать задачи, которые не получались старыми методами.

Пример. Вычислить интеграл Пуассона  .

Неопределенный интеграл  «не берется». Но двойной интеграл по области  равен

I =.

Информация в лекции "10 Гипотезы о состоянии социальной организации" поможет Вам.

С другой стороны, переходя к полярным координатам, получим

I = .

Поэтому = . По четности .

______________________

6 предполагается, что в области есть только одна точка разрыва функции

---

[1] предполагается, что в области есть только одна точка разрыва функции