Прямая сумма гильбертовых пространств
§3. Прямая сумма гильбертовых пространств.
Пусть гильбертовы пространства со скалярными произведениями
соответственно. Тогда множество пар
, где
образует векторное пространство
со сложением
и умножением на число
.
После задания в скалярного произведения пар
и
по правилу
оно превращается в гильбертово пространство с нормой
.
Рекомендуемые материалы
Если и
были сепарабельными, то и
будет сепарабельным. Сходимость
последовательности в
равносильна сходимости двух последовательностей
и vn →v в пространствах
и
соответственно.
"6. Регистрация документов" - тут тоже много полезного для Вас.
Пространство Н называется прямой сумой гильбертовых пространств и
и обозначается
. По индукции можно определить прямую сумму любого конечного числа пространств. В частности, определены гильбертовы пространства
.
Лемма (о непрерывности скалярного произведения).
Если и
в гильбертовом пространстве
, то
при
.
Доказательство.
.
Здесь мы воспользовались ограниченностью для сходящейся последовательности.