Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений
Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений.
Из исходной системы (7) путем эквивалентных преобразований переходим к системе вида:
(8)
Итерационный процесс, определяемый формулами
,
можно начать, задав начальное приближение . Достаточным условием сходимости итерационного процесса является одно из двух условий:
или .
Распишем первое условие:
при
Рекомендуемые материалы
при .
Распишем второе условие:
при
при .
Рассмотрим один из способов приведения системы (7) к виду (8), допускающему сходящиеся итерации.
Пусть задана система второго порядка вида:
.
Требуется привести ее к виду:
.
Умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразованной системы
где .
Далее, умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразованной системы будет иметь вид
где .
Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости
и .
Запишем эти условия более подробно:
Вам также может быть полезна лекция "16 - Интерфейс IEEE-1394 (FireWire)".
Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными для определения постоянных :
.
При таком выборе параметров условия сходимости будут соблюдены, если частные производные функций и будут изменяться не очень быстро в окрестности точки .
Чтобы решить систему, нужно задать начальное приближение и вычислить значения производных и , в этой точке. Вычисление осуществляется на каждом шаге итераций, при этом , ,.
Метод простых итераций является самоисправляющимся, универсальным и простым для реализации на ЭВМ. Если система имеет большой порядок, то применение данного метода, имеющего медленную скорость сходимости, не рекомендуется. В этом случае, используют метод Ньютона, который имеет более быструю сходимость.