Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений

Метод простых итераций для решения систем нелинейных уравнений.

Из исходной системы (7) путем эквивалентных преобразований переходим к системе вида:

                                            (8)

Итерационный процесс, определяемый формулами

,

можно начать, задав начальное приближение . Достаточным условием сходимости итерационного процесса является одно из двух условий:

 или .

Распишем первое условие:

 при

Рекомендуемые материалы

 при .

Распишем второе условие:

 при

 при .

Рассмотрим один из способов приведения системы (7) к виду (8), допускающему сходящиеся итерации.

Пусть задана система второго порядка вида:

.

Требуется привести ее к виду:

.

Умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразованной системы

где .

Далее, умножим первое уравнение системы на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразованной системы будет иметь вид

где .

Неизвестные постоянные  определим из достаточных условий сходимости

 и .

Запишем эти условия более подробно:

Вам также может быть полезна лекция "16 - Интерфейс IEEE-1394 (FireWire)".

Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными для определения постоянных :

.

При таком выборе параметров условия сходимости будут соблюдены, если частные производные функций  и  будут изменяться не очень быстро в окрестности точки .

Чтобы решить систему, нужно задать начальное приближение  и вычислить значения производных  и ,  в этой точке. Вычисление  осуществляется на каждом  шаге итераций, при этом , ,.

Метод простых итераций является самоисправляющимся, универсальным и простым для реализации на ЭВМ. Если система имеет большой порядок, то применение данного метода, имеющего медленную скорость сходимости, не рекомендуется. В этом случае, используют метод Ньютона, который имеет более быструю сходимость.