Метод Ньютона (метод касательных)
Метод Ньютона (метод касательных).
Пусть уравнение (1) имеет на интервале 
единственный корень, причем существует непрерывная на производная 
. Метод Ньютона служит для уточнения корней нелинейных уравнений в заданном интервале. Его можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если 
. Тогда итерационный процесс осуществляется по формуле:
(5)
Геометрически (Рис.9) этот процесс означает замену на каждой итерации графика кривой 
касательной к ней в точках 
.
Достаточное условие сходимости обеспечивается выбором начальной точки 
. Начальным приближением служит один из концов отрезка 
, в зависимости от того, в каком из них выполняется достаточное условие сходимости
(6)
При произвольном начальном приближении итерации сходятся, если
.
Рекомендуемые материалы
Метод Ньютона рекомендуется применять для нахождения простых действительных корней уравнения (1).
Достоинством метода является то, что он обладает быстрой скоростью сходимости, близкой к квадратичной. Недостатки метода:
- не при любом начальном приближении метод Ньютона сходится, а лишь при том, для которого 
.
- если 
, то 
.
- если 
, то 
.
Последних трудностей можно избежать, применив модификацию метода Ньютона, рабочая формула при этом имеет вид
.
Лекция "13 Внешнеполитический курс Николая I" также может быть Вам полезна.
2. Решение систем нелинейных уравнений.
Система нелинейных уравнений имеет вид:
(7)
Здесь 
- неизвестные переменные, а система (7) называется нормальной системой порядка 
, если хотя бы одна из функций 
нелинейна.
Решение систем нелинейных уравнений – одна из трудных задач вычислительной математики. Трудность состоит в том, чтобы определить: имеет ли система решение, и, если – да, то сколько. Уточнение решений в заданной области – более простая задача.
Пусть функции 
определены в областях 
. Тогда область 
и будет той областью, где можно найти решение. Наиболее распространенными методами уточнения решения являются метод простых итераций и метод Ньютона.
