Метод простых итераций

Метод простых итераций.

Пусть известно, что нелинейное уравнение  имеет на отрезке  единственный вещественный корень . Требуется найти этот корень с заданной точностью. Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение к виду

                                                   (2)

Информация в лекции "История Инков" поможет Вам.

Выберем произвольно приближенное значение корня  и вычислим . Найденное значение  подставим в правую часть соотношения (2) и вычислим . Продолжая процесс вычислений дальше, получим числовую последовательность . Если существует предел этой последовательности, то он и является корнем уравнения (2). В самом деле, пусть . Тогда, переходя к пределу в равенстве  и учитывая непрерывность функции  на отрезке , получим  или .

Корень можно вычислить с заданной точностью по итерационной формуле

                                          (3)

Достаточное условие, при котором итерационный процесс сходится, определяет следующая теорема: пусть функция  определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения  и выполняется условие

,                                          (4)

тогда процесс итераций (3) сходится независимо от начального значения  и предельное значение  является единственным корнем уравнения (2) на . Точка  называется неподвижной точкой для уравнения (2).