Метод простых итераций
Метод простых итераций.
Пусть известно, что нелинейное уравнение 
имеет на отрезке 
единственный вещественный корень 
. Требуется найти этот корень с заданной точностью. Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение к виду
(2)
Информация в лекции "История Инков" поможет Вам.
Выберем произвольно приближенное значение корня 
и вычислим 
. Найденное значение 
подставим в правую часть соотношения (2) и вычислим 
. Продолжая процесс вычислений дальше, получим числовую последовательность 
. Если существует предел этой последовательности, то он и является корнем уравнения (2). В самом деле, пусть 
. Тогда, переходя к пределу в равенстве 
и учитывая непрерывность функции 
на отрезке , получим 
или 
.
Корень можно вычислить с заданной точностью по итерационной формуле
(3)
Достаточное условие, при котором итерационный процесс сходится, определяет следующая теорема: пусть функция 
определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения 
и выполняется условие
, (4)
тогда процесс итераций (3) сходится независимо от начального значения и предельное значение 
является единственным корнем уравнения (2) на . Точка 
называется неподвижной точкой для уравнения (2).
