Метод Эйлера

Метод Эйлера.

Этот метод является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов.

Пусть дано дифференциальное уравнение с начальными условиями (задача Коши)

                                             (17)

и удовлетворяются условия существования и единственности решения.

Требуется найти решение  задачи Коши (17) на отрезке . Находим решение в виде таблицы . Для этого разобьем отрезок  на  равных частей и построим последовательность где - шаг интегрирования. Проинтегрируем исходное уравнение на отрезке :

Полученное соотношение можно переписать так

                                              (18)

Рекомендуемые материалы

Если считать подинтегральную функцию постоянной на участке  и равной значению в начальной точке этого интервала , то получим

Подставляя полученный результат в формулу (18) получаем основную расчетную формулу метода Эйлера:

                                      (19)

Вычисление значений  осуществляется с использованием формулы (19) следующим образом. По заданным начальным условиям  и  полагая  в выражении (19) вычисляется значение

                                           (20)

Далее определяя значение аргумента  по формуле , используя найденное значение  и полагая в формуле (19)  вычисляем следующее приближенное значение интегральной кривой , как

                                                (21)

Поступая аналогичным образом при  определяем все остальные значения , в том числе последнее значение , которое соответствует значению аргумента .

Таким образом, соединяя на координатной плоскости точки  отрезками прямых в качестве приближенного представления искомой интегральной кривой , получаем ломанную линию с вершинами в точках .

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.

Пусть задана система двух уравнений первого порядка

                                                    (22)

Люди также интересуются этой лекцией: 3 Требования к математическим моделям и численным методам в САПР.

с начальными условиями

.

Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида:

                                           (23)

где - шаг интегрирования.

При расчетах полагается, что и . В результате применения расчетной схемы (23) получается приближенное представление интегральных кривых  и  в форме двух ломанных Эйлера, построенных по полученным таблицам . Точность метода Эйлера .