Метод Эйлера
Метод Эйлера.
Этот метод является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов.
Пусть дано дифференциальное уравнение с начальными условиями (задача Коши)
(17)
и удовлетворяются условия существования и единственности решения.
Требуется найти решение задачи Коши (17) на отрезке . Находим решение в виде таблицы . Для этого разобьем отрезок на равных частей и построим последовательность где - шаг интегрирования. Проинтегрируем исходное уравнение на отрезке :
Полученное соотношение можно переписать так
(18)
Рекомендуемые материалы
Если считать подинтегральную функцию постоянной на участке и равной значению в начальной точке этого интервала , то получим
Подставляя полученный результат в формулу (18) получаем основную расчетную формулу метода Эйлера:
(19)
Вычисление значений осуществляется с использованием формулы (19) следующим образом. По заданным начальным условиям и полагая в выражении (19) вычисляется значение
(20)
Далее определяя значение аргумента по формуле , используя найденное значение и полагая в формуле (19) вычисляем следующее приближенное значение интегральной кривой , как
(21)
Поступая аналогичным образом при определяем все остальные значения , в том числе последнее значение , которое соответствует значению аргумента .
Таким образом, соединяя на координатной плоскости точки отрезками прямых в качестве приближенного представления искомой интегральной кривой , получаем ломанную линию с вершинами в точках .
Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.
Пусть задана система двух уравнений первого порядка
(22)
Люди также интересуются этой лекцией: 3 Требования к математическим моделям и численным методам в САПР.
с начальными условиями
.
Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида:
(23)
где - шаг интегрирования.
При расчетах полагается, что и . В результате применения расчетной схемы (23) получается приближенное представление интегральных кривых и в форме двух ломанных Эйлера, построенных по полученным таблицам . Точность метода Эйлера .