Метод Рунге-Кутта
Метод Рунге-Кутта.
Данный метод является одним из наиболее распространенных численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. По сравнению с описанным выше методом Эйлера метод Рунге-Кутта имеет более высокую точность.
Пусть на отрезке 
требуется найти численное решение задачи Коши (17), где 
. Как и в предыдущем методе разобьем этот участок на 
равных частей и построим последовательность значений 
аргумента 
искомой функции 
. Предполагаем существование непрерывных производных функции до пятого порядка.
Выражение (18) можно переписать в виде:
(24)
где 
- приращение искомой функции на 
-ом шаге интегрирования.
Придадим аргументу приращение, равное шагу интегрирования 
, и разложим функцию 
в ряд Тейлора в окрестности точки , сохранив в нем пять членов:
Перенося первое слагаемое в этой сумме в левую часть получим, что
Рекомендуемые материалы
(25)
Здесь производные 
определяются последовательным дифференцированием уравнения (16).
Вместо непосредственных вычислений по формуле (25) в методе Рунге-Кутта для каждого значения 
определяются четыре числа:
(26)
Доказывается, что если числа 
последовательно умножить на 
и сложить между собой, то выражение:
. (27)
Формула Рунге-Кутта имеет погрешность 
.
Таким образом, рабочая формула Рунге-Кутта для интегрирования 
.
В отличие от расчетной схемы метода Эйлера, в которой каждое следующее значение 
вычисляется непосредственно по единой формуле (19), в методе Рунге-Кутта необходимо проведение промежуточных вычислений по формулам (26) и (27).
ЗИММЕЛЬ Георг - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Метод Рунге-Кутта может быть использован и при решении систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши для системы второго порядка (22). В этом случае приращения и 
вычисляются по формулам:
(28)
где
(29)
Приближенное интегрирование системы уравнений (22) осуществляется по формулам вида:
(30)
