Метод наименьших квадратов для обработки результатов экспериментов
Метод наименьших квадратов для обработки результатов экспериментов.
Данный метод относится к классу аппроксимационных методов. Идея метода состоит в том, чтобы по данным эксперимента построить приближенно функцию, отображающую зависимость ее от 
, в виде многочлена с тем расчетом, чтобы сумма квадратов отклонений построенной функции от экспериментальной в узловых точках была минимальна. Будем строить функцию в виде многочлена
.
Используем для построения результаты эксперимента, заключенные в таблице
Построить многочлен, значит, определить его коэффициенты 
. Для этого введем функцию 
и потребуем, чтобы 
, где 
- отклонение функции от экспериментальной в узлах 
.
Используя вид 
, получим:
.
Необходимыми условиями экстремума функции 
является равенство нулю ее первой производной по всем переменным 
. Расписав эти условия, получим СЛАУ вида:
Запишем систему для определения 
в нормальной форме:
Решаем систему одним из известных методов и находим , которые затем подставляем в искомый многочлен.
Запишем алгоритм метода наименьших квадратов.
1. Вводим таблицу чисел 
.
2. Вычисляем 
.
3. Решая любым известным методом полученную систему линейных алгебраических уравнений, находим - коэффициенты искомого многочлена.
Для таблицы узловых точек, приведенных выше, построим аппроксимационный многочлен второго порядка методом наименьших квадратов вида:
.
Для этого необходимо вычислить следующие суммы
и решить СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов 
вида:
"16.3 Протоколы СЕТЕЙ" - тут тоже много полезного для Вас.
Значения неизвестных коэффициентов равны:
.
Тогда искомый многочлен второго порядка будет иметь вид:
.
Нетрудно заметить, что в узловых точках значения многочлена и табличной функции не совпадают. Погрешность вычислений по данной формуле в контрольной точке, по сравнению с истинным значением, составляет
.
