Численное интегрирование. Квадратурная формула Ньютона-Котеса
Численное интегрирование. Квадратурная формула Ньютона-Котеса.
Если функция непрерывна на отрезке и известна ее первообразная , то определенный интеграл от этой функции в пределах от до может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:
(16)
где . Однако, во многих случаях не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле (16) может быть затруднено или даже практически невыполнимо. Поэтому, важное значение приобретают численные методы вычисления определенных интегралов, использующие ряд значений подынтегральной функции в точках .
Вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, двойного - механической кубатурой. Соответствующие формулы будем называть квадратурными и кубатурными формулами.
Рассмотрим способы вычисления однократных интегралов.
Если воспользоваться интерполяционным полиномом Лагранжа, то, заменяя функцию полиномом , получим равенство
(17)
где - ошибка этой квадратурной формулы.
Рекомендуемые материалы
Пусть требуется вычислить интеграл , где . Выбрав шаг , разобьем отрезок на равных частей с помощью равноотстоящих точек , , , . Заменим подынтегральную функцию интерполяционным полиномом Лагранжа и получим приближенную квадратурную формулу
(18)
Выведем явные выражения для коэффициентов формулы (18). Многочлен Лагранжа имеет коэффициенты
, .
Вводим обозначения и и с учетом этих обозначений многочлен Лагранжа запишем в виде:
(19)
Заменяя в формуле (18) функцию полиномом в виде (19), получим:
,
где .
Так как и , то сделав замену переменных в определенном интеграле, будем иметь:
, .
Так как , то можно записать коэффициенты Котеса:
, (20)
Квадратурная формула при этом принимает вид:
(21)
Рассмотрим частные случаи.
По формуле (20) при вычислим:
,
.
Полученная формула является формулой трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла (Рис.10).
По формуле (20) при вычислим:
Лекция "43 Роль Данила Галицкого в национальной истории" также может быть Вам полезна.
;
.
Следовательно, так как , то квадратурная формула для вычисления интеграла имеет вид
.
Эта формула является формулой Симпсона. Геометрическая интерпретация формулы состоит в том, что происходит замена данной кривой параболой , проходящей через три точки (Рис.11).