Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений - применение формулы Тейлора
Глава V. Дифференциальные уравнения и системы
§ 1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений: применение формулы Тейлора
Задача Коши: Дано: — дифференциальное уравнение 1-го порядка;
— отрезок, на котором определена искомая y(x);
— начальное условие.
Найти: функцию y(x), удовлетворяющую уравнению и начальному условию.
Пусть f(x,y) — аналитическая в окрестности т.(x0,y0) (т.е. может быть представлена рядом по степеням (x – x0) и (y – y0).
Алгоритм:
1. Известна .
Рекомендуемые материалы
Найдем .
.
– – – – – – – – – – –
.
2. Подставляя (x0,y0) получим:
.
.
. (числовые значения)
.
– – – – – – – – – – –
.
3. По формуле Тейлора составим:
Замечание: Пусть R — радиус сходимости ряда . Если , то погрешность формулы не уменьшается при .
Дальнейшее обобщение алгоритма:
Пусть отрезок разбит на n частей, — точки деления (узлы).
1. На найдем .
Тогда .
Вместе с этой лекцией читают "26. Жанровый синтез рыцарского, пасторально-рыцарского и плутовского в романе Дон Кихот".
2. На найдем .
Тогда .
И т.д.
n. На найдем .
Тогда .
Т.е. найден набор приближенных значений искомой функции в узлах .