Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость
§20. Проекция линии пересечения двух поверхностей на координатную плоскость.
Одной из важнейших задач исследования взаимного расположения двух поверхностей является определение линии их пересечения. Формально, линия пересечения записывается как система двух уравнений с тремя переменными (см. §12 и §16): 
. Для анализа линии пересечения исключим в данной системе одну из переменных, например z. В результате получится одно уравнение с двумя неизвестными: f(x,y) = 0, которое можно воспринимать как кривую на плоскости XOY. Любой точке этой кривой (x*,y*) , будет соответствовать некоторое
значение z*, при котором точка (x*,y*, z*) принадлежит линии пересечения поверхностей. Следовательно, прямая параллельная оси OZ, проходящая через точку линии пересечения поверхностей, на плоскости XOY пересекает кривую f(x,y) = 0. Множество таких прямых образуют цилиндр с направляющей f(x,y) = 0 в плоскости XOY и образующей параллельной оси OZ (§18). Таким образом, доказано следующее утверждение:
Если исключить одну из переменных из уравнений двух поверхностей, то получится уравнение проекции линии пересечения этих поверхностей на координатную плоскость двух оставшихся переменных.
Пример. Найти проекцию линии пересечения поверхностей 
и 
на
плоскость YOZ. {Исключим х: 
гипербола. Из уравнения первой поверхности (круговой цилиндр) следует, что 
верхняя ветвь, 
}
