Поверхность вращения

§19. Поверхность вращения.

    В этом параграфе будут рассмотрены поверхности, образованные вращением плоской кривой вокруг одной из координатных осей. Для определенности, возьмем кривую F(y, z) = 0 в плоскости  YOZ   и  ось вращения  ОZ . Зафиксируем произвольное значение  z^*  и выразим из уравнения  F(y, z^*) = 0  соответствующее значение  у = f(z^*). При вращении, в плоскости  z = z^* получится окружность

 x² + y² = f ²(z^*).  Уравнение самой поверхности вращения будет иметь вид   x² + y² = f ²(z) (рис.10).

                                                  Необходимо отметить, что аналитическое решение уравнения 

                   z                            F(y, z^*) = 0  относительно у  совсем не обязательно, тем более,

                        F(y, z) = 0        что оно может быть достаточно трудоемким, либо невозможным.

                                                 Поэтому, уравнение поверхности вращения в данном случае

                                                 записывается  следующим образом: 

                                           y

Рекомендуемые материалы

      x

Люди также интересуются этой лекцией: 9.3. Человеческие потребности.

                рис.10

Правило записи уравнения поверхности вращения плоской кривой вокруг координатной оси:  Поверхность вращения плоской кривой вокруг координатной оси может быть получена заменой второй переменной в уравнении кривой на  квадратный корень из суммы квадратов этой и отсутствующей переменных  (в рассмотренном случае ).

Пример. Написать уравнения поверхностей, полученных в результате вращения кривой  у² = 6х вокруг осей  ОХ   и  OY.           {

    }

Замечание.  Если в уравнении некоторой поверхности две переменные присутствуют только

 в связке как сумма квадратов, то эта поверхность является поверхностью вращения вокруг координатной оси третьей переменной.