Лекция № 15

Тема:

 Анализ дискретных систем с использованием пространства состояний (продолжение).

План лекции:

1. Анализ устойчивости дискретных систем.

2. Определение переходных процессов при описании дискретных систем уравнениями состояния.

1. Анализ устойчивости дискретных систем.

Рассмотрим вопрос исследования устойчивости при описании дискретных систем уравнениями состояния. Устойчивость определяется характером собственных движений дискретной системы, т.е. характером движений под действием только ненулевых начальных условий. Если входное воздействие отсутствует, уравнение состояния (63) принимает вид

                                                                                                (66)

Общее решение системы уравнений (66)

Устойчивость системы (66), а следовательно, и исходной неоднородной системы (63) определяется собственными числами матрицы Ф , т.е. корнями характеристического уравнения

Рекомендуемые материалы

                                                                                                (67)

Если все корни     удовлетворяют условию

то система устойчива. Если существует хотя бы один корень такой, что  , то импульсная система, описываемая уравнением (63), неустойчива. Случай, когда , является критическим. При этом система устойчива, если данный корень имеет первый порядок кратности.

         При использовании математического описания импульсных систем в терминах пространства состояний оказывается возможным применить простой и удобный в вычислительном отношении критерий устойчивости. Справедливы утверждения:

Если все корни характеристического уравнения (67)  

,удовлетворяют условию

                                                                                           (68)

то

                                                                                                   (69)

При этом в уравнении (69) может использоваться любая из известных форм нормы матрицы. Справедливо и обратное утверждение, т.е. из условия (69) следует условие (68).

2. Если                                                                          (70)

и кратные корни на единичной окружности отсутствуют, то

                                                                                         (71)

и обратно, выполнение условия (71) влечет за собой выполнение условия (70).

3. Если существует          

или имеются кратные собственные числа матрицы Ф , принадлежащие единичной окружности, то                  

Справедливо также и обратное утверждение.

Таким образом, исследование устойчивости может производиться по анализу элементов матрицы  при  . Обычно рассматривают последовательность матриц

(эта последовательность просто формируется с помощью ЭВМ), задаются малым числом  и достаточно большим числом  и с помощью ЭВМ проверяют выполнение одного из условий

или

В первом случае соответствующая импульсная система устойчива, во втором случае она неустойчива. Возможна модификация этого алгоритма на основе привлечения ум оценки неустойчивости следов матрицы  при  , IIpи используется следующее утверждение :если существует такое k , что

где n   - порядок системы, то среди собственных чисел матрицы имеется хотя бы одно , удовлетворяющее условию  и тогда импульсная система неустойчива. Справедливость этого утверждения следует из равенства

Очевидно, что если все собственные числа матрицы удовлетворяют условию

                                                                             (72)

поэтому нарушение условия (72) влечет за собой появление собственного числа, определяющего неустойчивость системы.

Определение переходных процессов при описании дискретных систем уравнениями состояния.

Одной из основных и часто встречающихся задач анализа и импульсных систем является определение переходных процессов. Запишем уравнение (63) импульсной системы в переменных состояния:

Переходный процесс в такой системе может быть легко найден рекуррентным способом, для систем низкого порядка - непосредственным вычислением, для систем высокого порядка - с применением ЭВМ. Исходными данными для вычислений являются входные воздействия , и начальное состояние системы

Тогда

и т.д.

Недостатком рекуррентной процедуры является то, что для нахождения решения       при определенном значении аргумента  необходимо вычислить решение при всех предшествующих значениях аргумента. Поэтому имеет смысл получить решение системы разностных уравнений (63) в явном виде.

Из теории разностных уравнений, которые рассматривались в курсе "Математические основы ТАУ" фундаментальной матрицей однородной системы

                                                                                               (73)

называется  - матрица, столбцы которой представляют собой линейно независимые решения системы (73). Фундаментальная матрица x[k] является нормированной при k=0 , если x[0]=E. Общее решение однородной системы (73) имеет вид

                                                                                      (74)

где  x[k]- произвольная фундаментальная матрица.

Если  x[k]- нормированная фундаментальная матрица, выражение (74) примет вид

                                                                                                 (75)

Для определения нормировавшей фундаментальной матрицы применим Z-преобразование к обеим частям уравнения (73):

где

Отсюда следует, что

                                                                                (76)

Так как решение линейного разностного уравнения при заданных начальных условиях определяется единственным образом, то из сравнения выражений (76) и (75) будем иметь

Связь между Z-преобразованием решетчатой функции  и оригиналом  задается соотношением

где   - особые точки .

Применив эту формулу для нашего случая, получим

,

где  - собственные числа матрицы  Ф, т.е. корни характеристического уравнения

Возможны и некоторые другие способы вычисления матрицы  [2].

Перейдем к определению решения неоднородной системы разностных уравнений (63). Получим последовательно

Общее решение неоднородной системы будет иметь вид

или

Обратите внимание на лекцию "1 - Цвет и движение".

 Учитывая, что

получим окончательное выражение в виде

                                                       (77)

Таким образам, для численного расчета переходных процессов в дискретной системе можно использовать либо рекуррентную процедуру, либо выражения (75), (77). Для изучения общих свойств решения, анализа поведения системы при различных начальных условиях используются формулы (75), (77), характеризующие зависимость переменных состояния от дискретного времени в явном виде.