Тема 5. Средние величины

                    5.1. Сущность средних величин и научные основы их исчисления

Средняя величина – это обобщающий показатель, который характеризует типичные размеры признака в расчете на единицу совокупности.

Величину того или иного значения количественно варьирующего признака определяют две группы причин: общие причины и индивидуальные особенности. Общие причины формируют типичный уровень для единиц данной качественно однородной совокупности. Они связаны с природой изучаемого явления.

Индивидуальные причины формируют специфические особенности отдельных единиц совокупности. Они не связаны с сущностью исследуемого явления и относятся к случайным причинам.

Средняя выступает как величина, обобщающая, типическая, в ней погашаются случайные причины, индивидуальные отклонения и выступает основная закономерность, обусловленная действием общих причин. К средней величине обращаются тогда, когда хотят исключить влияние случайности отдельных факторов.

Средняя величина, как и любое понятие, представляет собой научную абстракцию, она может не совпадать не с одним из индивидуальных значений признака. Так, например, средний размер семьи в городе может составить 2,8 человека. Но ценность средней заключается в том, что она отражает общее в массе явлений и это общее реально существует.

Роль средних в практической деятельности весьма значительна, многие экономические расчеты связаны с применением средних величин. Поэтому очень важно, чтобы средняя величина отражала реальный уровень в развитии явления. Для этого она должна быть правильно исчислена. Можно сформулировать ряд основных требований, которые предъявляются к исчислению научных средних.

· Прежде всего, средняя должна вычисляться для качественно однородной совокупности явлений. Если средняя будет исчислена для качественно разнородной совокупности в ней будут затушеваны различные социально-экономические типы явлений. Такая средняя превращается в огульную среднюю, в математическую фикцию. Прежде чем вычислять средние величины, необходимо в этом случае произвести группировку, выделив качественно однородные группы.

· Важное принципиальное требование к средним – исчисление их по всему кругу единиц или по типичной их части. Если средняя исчисляется по исчерпывающему кругу единиц явления, никакого вопроса об оценке ее показательности не возникает, потому что в ней находят отражение все свойства и особенности в развитии изучаемой совокупности.

· Следующее требование, предъявляемое к средним, – правильный выбор формулы расчета, что зависит от логического содержания показателя и от исходной информации. Сам прием вычисления средней является математическим приемом. Но расчет математических средних может быть произведен по произвольному набору чисел. Статистические же средние рассчитываются по конкретным формулам, каждая из которых приложима к определенным исходным данным.

Рекомендуемые материалы

Средняя величина всегда именованная, имеет ту же единицу измерения, что и признак у отдельных единиц совокупности.

Средние в общественных явлениях обладают относительным постоянством т.е. в течение какого-то определенного промежутка времени однотипные явления характеризуются примерно одинаковыми средними. Средняя изменяется гораздо медленнее индивидуальных значений.

Средняя величина дает обобщающую характеристику явлений лишь по одному признаку, а каждое явление имеет много свойств, признаков. В целях глубокого анализа явлений следует рассчитывать систему средних в комплексе с другими обобщающими показателями – абсолютными и относительными величинами.

5.2. Виды средних величин

В экономико-статистических исследованиях применяются две категории средних величин:

степенные средние;

структурные средние.

К категории степенных средних относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая и др.

К структурным средним относятся мода и медиана.

А). Средняя арифметическая простая и взвешенная.

Средняя обозначается чаще всего через . Величины, для которых вычисляется средняя, обозначается буквой .

Формула простой средней арифметической имеет вид:

.

Базой для вычисления простой средней арифметической служат первичные записи результатов статистического наблюдения. Числитель определяется путем простого суммирования отдельных значений признака. В знаменателе показывается численность единиц совокупности.

Например, мы имеем показатели уровня выработки рабочих одной бригады; состоящей из 10 человек

 (в тыс. р.): 3,8; 4,2; 5,2; 4,2; 3,5; 4,2; 4,6; 3,8; 4,6; 5,2.

Подсчитаем среднюю выработку продукции на одного рабочего.

Основой для расчета средней арифметической взвешенной является обработанный материал, т.е. построенные ряды распределения.

Формула средней арифметической взвешенной имеет следующий вид:

,

где  – значения варианты;

 – значения частот (весов);

 – сумма всех частот (объем ряда);

 – сумма произведений вариант на частоты.

Построим на основе вышеприведенных данных о выработке рабочих ряд распределения:

Таблица 5.1

В расчете средней арифметической произведение вариант на частоты дает показатель имеющий реальный экономический смысл. Так, в рассмотренном примере произведение  – это объем продукции.

При вычислении средней арифметической взвешенной в качестве веса всегда выступает знаменатель исходного логического соотношения. Так для нашего примера, это соотношение следующее:

.

Если знаменатель исходного логического соотношения известен, расчет средней величины производится по формуле средней арифметической взвешенной.

Б). Средняя гармоническая простая и взвешенная.

Наряду со средней арифметической как наиболее всеобщей формой средней, применяется в экономических расчетах и средняя гармоническая.

Средняя гармоническая – это величина обратная средней арифметической, из обратных значений признака.

Чтобы понять условия ее расчета, обратимся к примеру, приведенному в табл. 5.2.

Таблица 5.2

Чтобы вычислить среднюю выработку продукции на одного рабочего в целом по предприятию, нужно использовать следующее исходное логическое соотношение:

.

Знаменатель исходного соотношения неизвестен и расчет средней производится по формуле средней гармонической взвешенной:

.

В этой формуле  – варианты (для нашего примера уровни заработной платы одного рабочего).

 – произведения вариант на частоты (в нашем случае фонд зарплаты).

Как мы видим, из расчета среднюю гармоническую взвешенную применяют тогда, когда необходимые веса (частоты) в исходных данных не заданы непосредственно, а входят сомножителем в один из имеющихся показателей, выступающий так называемыми "мнимыми весами".

Среднюю гармоническую в расчетах можно заменить средней арифметической, достаточно лишь предварительно вычислить веса. В нашем примере можно было предварительно по каждому цеху вычислить число рабочих.

То есть, средняя гармоническая в статистике есть преобразованная средняя арифметическая, которая применяется тогда, когда неизвестны частоты ряда распределения.

Средняя гармоническая простая вычисляется по формуле:

,

где  – число вариант.

Эту формулу целесообразно применять вместо средней гармонической взвешенной в том случае, если объем явлений () равны у всех единиц совокупности.

Таблица 5.3

Определим среднюю цену за единицу по двум рынкам.

В). Другие виды степенных средних.

В зависимости от исходной информации, цели исследования кроме средней арифметической и средней гармонической могут применяться и другие виды степенных средних, формулы их расчета приведены в табл. 5.4.

Таблица 5.4

Степенные средние различных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения. И чем выше показатель степени, тем больше и величина соответствующей средней:

.

Эта связь средних в статистике называется правилом мажорантности средних.

5.3. Расчет средней арифметической из интервального ряда распределения

Средняя величина из интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле средней арифметической взвешенной. За значение x берется середина каждого интервала, которую вычисляют как величину арифметическую простую, исходя из верхней и нижней границы каждого интервала: . За  принимается частота каждого интервала.

Например, вычислим средний стаж работы 1 рабочего на предприятии по данным табл. 5.5.

Таблица 5.5

Средний стаж работы одного рабочего на предприятии составляет 12,3 года.

Средняя величина, полученная из интервального ряда всегда менее точна, чем средняя, полученная из дискретного ряда распределения. Это объясняется тем, что за варианты берется середина интервала каждой группы, исходя из предположения равномерности распределения вариант в интервале. Практически же такая равномерность отсутствует, средняя в каждой группе может не совпадать с серединой интервала.

Хотя, несмотря на довольно значительные ошибки по группам, на среднем итоге они сказываются в меньшей степени.

Степень расхождения между средней из дискретного и интервального ряда зависит от определенных причин.

· Первой причиной является число частот в каждой группе. Чем больше частота тем вероятнее, что середина интервала будет незначительно отличаться от групповой средней.

· Второй причиной является величина интервала. Чем меньше величина интервала, тем меньше середина интервала отличается от групповой средней.

· Третьей причиной является характер распределения. Чем симметричнее распределение, тем меньше ошибка, возникающая при использовании середин интервалов.

· Четвертой причиной является принцип построения интервального ряда. При равных интервалах центр его будет ближе примыкать к средней арифметической по данной группе. Если же интервалы неравные и по размеру резко отличаются друг от друга, то расхождения между средней и серединой интервала может быть значительным.

5.4. Свойства средней арифметической и расчет ее способом моментов

Свойство 1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:  при

Свойство 2. Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:  для несгруппированных данных и  для рядов распределения.

Это свойство означает, что сумма положительных отклонений равна сумме отрицательных отклонений, т.е. все отклонения, обусловленные случайными причинами взаимно погашаются.

Свойство 3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической есть число минимальное:  для несгруппировочных данных и  для рядов распределения. Это свойство означает, что сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической всегда меньше суммы отклонений вариантов признака от любого другого значения, даже мало отличающегося от средней.

Второе и третье свойство средней арифметической применяются для проверки правильности расчета средней величины; при изучении закономерностей изменения уровней ряда динамики; для нахождения параметров уравнения регрессии при изучении корреляционной связи между признаками.

Все три первых свойства выражают сущностные черты средней как статистической категории.

Следующие свойства средней рассматриваются как вычислительные, поскольку они имеют некоторое прикладное значение.

Свойство 4. Если все веса (частоты) разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая не изменится, поскольку это сокращение в равной степени коснется и числителя и знаменателя формулы расчета средней.

Из этого свойства вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Если все веса равны между собой, то вычисление средней арифметической взвешенной можно заменить вычислением средней арифметической простой.

Следствие 2. Абсолютные значения частот (весов) можно заменять их удельными весами.

Свойство 5. Если все варианты разделить или умножить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая уменьшиться или увеличиться в d раз.

Свойство 6. Если все варианты уменьшить или увеличить на постоянной число A, то и со средней произойдут аналогичные изменения.

Прикладные свойства средней арифметической можно проиллюстрировать, применив способ расчета средней от условного начала (способ моментов).

Средняя арифметическая способом моментов вычисляется по формуле:

,

где А – середина какого-либо интервала (предпочтение отдается центральному);

d – величина равновеликого интервала, или наибольший кратный делитель интервалов;

m₁ – момент  первого порядка.

Момент первого порядка определяется следующим образом:

.

Технику применения этого способа расчета проиллюстрируем по данным предшествующего примера.

Таблица 5.6

Как видно из расчетов, приведенных в табл. 5.6 из всех вариантов вычитается одно из их значений 12,5, которое приравнивается нулю и служит условным началом отсчета. В результате деления разностей на величину интервала – 5 получают новые варианты.

Согласно итогу табл. 5.6 имеем: .

Результат вычислений по способу моментов аналогичен результату, который был получен применением основного способа расчета по средней арифметической взвешенной.

5.5. Структурные средние

В отличие от степенных средних, которые рассчитываются на основе использования всех вариант значений признака, структурные средние выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами ряда распределения. Мода и медиана характеризуют величину варианта, занимающего определенное положение в ранжированном вариационном ряду.

Мода – это величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.

Нахождение моды в дискретном ряду распределения не требует вычислений. Путем просмотра столбца частот находят наибольшую частоту.

Например, распределение рабочих предприятия по квалификации характеризуются данными табл. 5.7.

Таблица 5.7

Наибольшая частота в этом ряду распределения 80, значит мода равна четвертому разряду. Следовательно, наиболее часто встречаются рабочие, имеющие четвертый разряд.

Если ряд распределения интервальный, то по наибольшей частоте устанавливают только модальный интервал, а затем уже вычисляют моду по формуле:

,

где  – нижняя граница модального интервала;

 – величина модального интервала;

 – частота модального интервала;

 – частота предмодального интервала;

 – частота послемодального интервала.

 Вычислим моду по данным, приведенным в табл. 5.8.

Таблица 5.8

Это значит, что чаще всего предприятия имеют прибыль 726 млн р.

Практическое применение моды ограниченно. На значение моды ориентируются, когда определяют наиболее ходовые размеры обуви и одежды при планировании их производства и реализации, при изучении цен на оптовых и розничных рынках (метод основного массива). Моду используют вместо средней величины при подсчете возможных резервов производства.

Медиана соответствует варианте, стоящей в центре ранжированного ряда распределения. Это значение признака, которое делит всю совокупность на две равные части.

Положение медианы определяется ее номером (N).

,

где  – число единиц совокупности. Используем данные примера, приведенные в табл. 5.7 для определения медианы.

, т.е. медиана равна средней арифметической из 100-го и 110-го значений признака. По накопленным частотам определяем, что 100-я и 110-я единицы ряда имеют величину признака, равную четвертому разряду, т.е. медиана равна четвертому разряду.

Медиана в интервальном ряду распределения определяется в следующем порядке.

1. Подсчитываются накопленные частоты по данному ранжированному ряду распределения.

2. На основе накопленных частот устанавливается медианный интервал. Он находится там, где первая накопленная частота равна или больше половины совокупности (всех частот).

3. Вычисляется медиана по формуле:

,

где  – нижняя граница медианного интервала;

 – величина интервала;

 – сумма всех частот;

 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

Рекомендация для Вас - 85 Приготовление щей из свежей и квашенной капусты.

 – частота медианного интервала.

Вычислим медиану по данным табл. 5.8.

Первая накопленная частота, которая равна половине совокупности 30, значит медиана находится в интервале 500-700.

Это означает, что половина предприятий получает прибыль до 676 млн р., а другая половина свыше 676 млн р.

Медиану часто используют вместо средней величины, когда совокупность неоднородна, т.к. она не находится под влиянием крайних значений признака. Практическое применение медианы также связано с ее свойством минимальности. Абсолютная сумма отклонений индивидуальных значений от медианы есть величина наименьшая. Поэтому медиану применяют в расчетах при проектировании места расположения объектов, которые будут использоваться различными организациями и лицами.