Простейшие примеры эконометрических моделей

§ 2. Простейшие примеры эконометрических моделей

Построение любой модели состоит из двух основных этапов.

1. Установление формы зависимости между экономическими показателямим.

2. Определение коэффициентов (параметров) модели.

Рассмотрим в этом параграфе простейшие примеры построения и использования таких моделей.

Модель естественного роста

Монополист производит некоторый продукт в объеме  y(t).

Рынок ненасыщен и поэтому весь производимый товар раскупается по постоянyой цене p.

Доход от продажи товара равен:    p ∙ y(t).

Рекомендуемые материалы

Часть полученногодохода направляется на прямые инвестиции  J. (Общая сумма инвестиций минус аммортизационные отчисления). Долю дохода, направлямую на инвестиции, обозначим  a:

J = a ∙  (p y)

Рассмотрим, как связана величина инвестиций с изменением объемов производства:

J > 0    Þ   y(t)  растет                          Þ   .

J = 0    Þ   y(t)  остается постоянной   Þ   .

J < 0    Þ   y(t)  убывает                         Þ   .

Чем больше сумма инвестиций J, тем быстрее растет объем производства y(t) ( а производная     – это и есть скорость роста величины y).

Формулируем модель: Скорость роста объемов производства пропорциональна чистым инвестициям.

Таким образом, для объема производства y(t) получили дифференциальное уравнение, к которому нужно добавить начальное условие – объем производства в настоящий момент: y(0) = y₀.

Если решить это уравнение с имеющимся начальным условем, получим:

Эта зависимость отражается следующим графиком:

Чтобы этой формулой можно было пользоваться для практических целей, должны быть известны вошедшие в нее коэффициенты (параметры). Рассмотрим их подробнее.

Всего в формулу входят 4 параметра:  y₀,  m,  p, a.  Их можно разделить на 3 группы:

1. y₀  – объем производства в даный момент (известен);

p   – цена на товар  (известна).

2. a  – доля дохода, направляемая на инвестиции.  Это число определяемым мы сами, этим параметром мы можем управлять.

3. m –  коэффициент пропорциональности между объемом инвестиций и скоростью роста объемов производства в формуле (1).  Он определяется по статистичеким данным нашего производства за предшествующие периоды. Для этого используется специальный математический аппарат, который мы будем рассматривать в последующем.

Пример использования построенной модели:

Поставим следующий вопрос. Какую долю дохода направлять на расширение производства, чтобы через три года объем производства увеличить в два раза. Т.е., нужно определить величину параметра  a, при которой

       т.е. при     

Подставим эти условия в формулу (2):    

Получаем:     Отсюда  

2. Модель логистического роста

В модели естественного роста объемы производства растут очень быстро, по экспоненциальному закону.  Через некоторое время наступает насыщение рынка и  товар уже не будет раскупаться полностью. Чтобы он весь покупался, нужно снижать цену.  Поэтому предположение о постоянности цены p уже не будет работать. Нужно уточнять модель.

Известно из теории, как меняется цена с увеличением предложения на рынке. Качественый характер зависимости виден на следующем графике.

Для упрощения модели примем линейную зависимость цены от объема предложения товара:

Тогда:       

Если решить это измененое дифференциальное уравнение с начальным условем y(0) = y₀, получим:

Эта зависимость отражается следующим графиком:

На начальном этапе ненасыщенного рынка характер зависимости почти совпадает с результатами предыдыдущей модели.  Но затем на кривой появляется перегиб, и после этого наступает затухание роста объемов производства. Больше, чем величина  b/a  объем производства не быть не может.

Рекомендация для Вас - 14 Библиографический список.

Итак, рассмотренные примеры показывают следующее.

В задачах эконометрии при построение модели решаются две проблемы:

1. Составление уравнений для описания взаимосвязи и динамики экономических явлений

(при этом используются знания из теоретической экономики, практический экономический опыт и знание математики).

2. Определение параметров, включенных в эти модели

(используются знания из математики, теории вероятностей и математической статистики).