Метод Гаусса-Зейделя (треугольный)
3.4. Метод Гаусса-Зейделя (треугольный)
Представим матрицу в виде суммы диагонали
, нижней треугольной
и верхней треугольной
:
, (3.16)
где
Итерационный метод Гаусса-Зейделя в индексах выглядит так:
. (3.20)
Несмотря на то, что в правую часть (3.20) входят значения на новой итерации , вся правая часть вычисляется явно, т.к. вычисления проводятся последовательно для узлов
, и к моменту вычисления
все
уже известны.
В матричной форме (3.20) имеет вид
Рекомендуемые материалы
, (Z)
или
(3.21)
Матрица - матрица перехода (шага) метода Зейделя, а матрица
- матрица расщепления, которая треугольная, и разумеется не симметричная и, вообще говоря, не положительно определенная, а сам метод не симметризуем. Тем не менее, если
, то метод Гаусса-Зейделя сходится. Скорость сходимости чуть больше, чем у метода Якоби. Чтобы убедиться в сходимости метода, достаточно записать (Z) в каноническом виде и проверить условие Теоремы
. Перепишем (Z) в виде
откуда получаем каноническую форму
"5.3 Вопросы для самоконтроля и резюме" - тут тоже много полезного для Вас.
Итак, надо проверить условие . Но
, а в силу условия
имеем
, поэтому
. Таким образом, осталось проверить
, или
, что равносильно
. Но это так, если
. Т.е. достаточное условие сходимости выполнено.
Важно подчеркнуть, что порядок вычислений в методе Зейделя напрямую зависит от способа нумерации узлов сетки. Поскольку вновь подсчитанные узловые значения функции немедленно подставляются на место предыдущих, можно экспериментировать с направлением обхода узлов. Например, разные направления обхода можно задать с помощью вектора перестановок индексов , где
- исходный номер, а
- новый. Разумеется, функция
должна быть взаимно однозначной. Пусть
естественное упорядочение узлов сетки по возрастанию, тогда
задает обратный порядок. Для произвольного порядка обхода узлов следует просто заменить в формуле (3.20)
на
. Особенно такой подход удобен для многомерных задач.
При ленточной схеме хранения или при хранении матрицы в разреженном строчном формате удобен следующий прием вычислений в методе Гаусса-Зейделя. Для каждого определятся текущий вектор неизвестных
. Тогда формула (3.20) может быть переписана в виде
(3.22)
Здесь - это скалярное произведение
-й строки матрицы
на вектор
.
Задание. Составить программу решения задачи Дирихле для стационарного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами методом Гаусса-Зейделя, численно исследовать сходимость. Сравнить с решением по методу Якоби.