§ 9. Принятие решений с использованием моделей массового обслуживания

Сначала рассмотрим модели со стоимостными характеристиками. Такие модели массового обслуживания направлены на определение такого уровня функционирования обслуживающих систем, при котором достигается «компромисс» между следующими двумя экономическими показателями:

1) прибылью, получаемой за счет предоставления услуг;

2) потерями прибыли, обусловленными задержками в предоставлении услуг.

Рассматривается два типа моделей:

Модели 1-го типа ориентированы на определение оптимальной средней скорости обслуживания m, когда система массового обслуживания располагает одним прибором;

Модели 2-го типа направлены на определение оптимального числа обслуживающих приборов в случае многоканальной системы массового обслуживания.

Оптимальная скорость обслуживания m.

Пусть в системе с одним прибором интенсивность поступлений l, а интенсивность обслуживания m. Предположим, что m поддается регулированию; требуется определить её оптимальное значение на основе стоимости модели. Введем обозначения:

C₁ – выраженный в стоимостной форме выигрыш за счет увеличения на единицу значения m в течении единичного интервала времени (например за 1 час);

Рекомендуемые материалы

С₂ – «цена» ожидания (т.е. потери, обусловленные вынужденным ожиданием) в единицу времени и в расчете на одного клиента;

С(m) – стоимостной показатель, определяемый формулой:

                                       C(m) = C₁m + C₂EX,

m - непрерывная величина, поэтому оптимальное значение находится из равенства к нулю первой производной С(m) по m.

Например, для <M|M|1> (с очередью):

Следовательно

Как видно, m (оптимальное) зависит от l. Это логично, если это было бы не так, то r могло бы быть больше 1.

Для системы <M|M|1> (очередь £ N)

C(m) = C₁×m + C₂×EX + C3×N + C₄×lp_N,

где С₃ – «стоимость» увеличения (на единицу времени) вместимости блока ожидания, С₄ – экономические потери, связанные с невозможностью включить в блок ожидания системы еще одного нуждающегося в обслуживании клиента. Заметим, что lp_N – число клиентов, потерянных системой в единицу времени.

Получить решение этой задачи в явном виде невозможно. Необходимы соответствующие численные методы.

Оптимальное число обслуживающих приборов.

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания (допустим m - приборов). Пусть l, m - фиксированы.

Пусть С(m) = C₁m + C₂EX, где С₁ – отнесенные к единице времени затраты на обеспечение функционирования одного дополнительного обслуживающего прибора, EX – среднее число клиентов.

Так как m – дискретно, то дифференцировать нельзя. Оптимальное значение находится – m может быть найдено путем выполнения условий:

С(m-1) ³ С(m)

С(m+1) ³ С(m)

EX(m) – EX(m+1) £ C₁/C₂ £ EX(m-1) – EX(m),

где EX(m) – среднее число клиентов в системе с m-приборами.

В заключение, несколько слов о моделях, в которых осуществляется учет предпочтительного уровня обслуживания.

Заметим, что в таких моделях при определении оптимального числа приборов учитывается то, что «конкурирующими» являются показатели: средняя продолжительность ожидания Eq и доля времени x, в течении которого обслуживающий прибор простаивает. Эти показатели и определяют потенциальный характер процесса массового обслуживания. Обозначим верхние пределы Eq и x через a и b соответственно. Учет предпочтительности уровня функционирования обслуживающей системы можно представить математически так:

определим число m так, чтобы Eq £ a  и x £ b.

Выражение для x имеет вид :

Для системы  <M|M|m>  значение Eq  также найдена (см. §

Рис.1

Используя эти значения, решение задачи находится графически: для этого нужно построить графики функций  и , далее указав графически уровни  и  выявляется приемлемый диапазон значений m (Рис.1).

Бесплатная лекция: "5 Нормативные документы, регламентирующие качество и безопасность пищевой продукции" также доступна.

Задачи к § 9

9.1. Бутылки с фруктовым соком поступают на автоматическую линию в соответствии с пуассоновским распределением вероятностей со средней интенсивностью 10 партий в день. В конце конвейера бутылки закупориваются автоматическим устройством. Установлено, что увеличение производительности на одну единицу обойдется фирме в $100 в неделю. Задержка же в выполнении указанной выше технологической операции приведет к сокращению объема производства; при этом экономические потери из расчета на одну партию бутылок равняются $200 в неделю. Определите оптимальную скорость работы автомата.

9.2. В цехе промышленного предприятия имеется 10 одинаковых станков. Каждый час работы станка обеспечивает прибыль, равную $4. Поломка каждого станка за семичасовой период времени происходит в среднем один раз. Один механик тратит на ремонт станка в среднем четыре часа, хотя фактически наблюдаемые продолжительности ремонта одного станка распределены по показательному закону. Механик, осуществляющий ремонт станков, получает $6 в час. Определите

а) число механиков, обеспечивающих минимизацию суммарных экономических потерь;

б) число механиков, которое необходимо для того, чтобы среднее количество простаивающих из-за неисправности станков было меньше четырех;

в) число механиков, при котором среднее время простоя станка из-за возникновения в нем неисправности не превышало четырех часов.