ГЛАВА 2. Обнаружение и различение сигналов

         В литературе задача оценки сообщения, принадлежащего дискретному конечному ансамблю, называется обычно «задачей различения m сигналов». Дискретная модель хорошо подходит для описания сообщений в цифровых системах передачи информации, таких, как цифровая телеметрическая система или система передачи дискретных сообщений. Объем ансамбля определяется выбранным методом приема (посимвольным, пословным и т.д.). Число m при пословном приеме равно числу кодовых комбинаций (команд); при посимвольном приеме – основанию кода. В частности, при посимвольном приеме двоичного кода m=2.

         Практически работа любой радиосистемы начинается с обнаружения сигнала, при этом по наблюдаемой реализации смеси требуется определить, имеется ли в смеси сигнал или он отсутствует. Если случай отсутствия сигнала можно отождествить с одним значением сообщения х₀, а наличия – с другим х₁, то задача обнаружения сведется к задаче различения двух значений сообщения и принципиально ничем не будет отличаться от задачи посимвольного приема двоичной информации. Может встретиться ситуация, например, в системе передачи дискретных сообщений, когда на заданном интервале времени может или передаваться сигнал, соответствующий одному из возможных значений сообщения, или ничего не передаваться. Система обработки в этом случае должна вынести решение о том, имеется ли в наблюдаемой смеси сигнал, и если да, то какой именно. В литературе эта задача называется задачей различения m сигналов с обнаружением. Ясно, что и эта задача приводится к общей задачи различения m + 1 сигналов, если в ансамбль сообщений ввести дополнительный («нулевой») сигнал, соответствующий отсутствию сигнала в смеси.

         Таким образом, одной из наиболее важных проблем радиообнаружения является отыскание оптимальных способов выделения сигналов при наличии помех. Оптимальными методами обнаружения называются такие, которые обеспечивают наилучшее выделение сигналов из смеси сигнала с помехой.

         В результате  процесса обнаружения должно быть выдано решение о наличии или отсутствии сигнала в смеси, действующей на входе обнаружителя.

2.1. Обнаружение сигналов как статистическая задача

         Пусть на вход обнаружителя поступает сумма сигнала u(t) и шума n(t), представляющая собой непрерывный случайный процесс, x(t) = au(t) + n(t); u(t) – полностью известный сигнал, т.е. такой сигнал, единственным неизвестным параметром которого является сообщение а. В простейшем случае при обнаружении сообщения а может принимать два значения: а = а₀ = 0 или а = а₁ = 1.

Рекомендуемые материалы

         Когда а₀ = 0, сигнал на входе обнаружителя отсутствует, когда  а₁ = 1, сигнал на входе обнаружителя присутствует. Априорные вероятности присутствия и отсутствия сигнала на входе обнаружителя равны Р(а₁) и Р(а₀) соответственно.

Обнаружитель анализирует колебание x(t) в течение заранее выбранного (конечного) интервала времени Т и должен на основании анализа воспроизвести сообщение а. Функцию x(t), ограниченную во времени Т, будем называть реализацией колебания.

В настоящее время для решения подобных задач широко применяются методы математической статистики. Основной задачей ее является установление законов распределения случайных величин на основе результатов наблюдения над этими величинами.

В случае обнаружения сигналов реализация колебания x(t) является непрерывной функцией времени (при непрерывном или дискретном сигнале u(t) в смеси) с ограниченным спектром.

Представим x(t) выборочными значениями(x₁, …,x_n), взятыми в соответствии с теоремой Котельникова с интервалом Δt = 1/F, где F – ширина спектра колебания x(t). При этом, объем выборки определится соотношением:

n = T/ΔT = TF                                               (2.1)

На основании анализа выборки x₁, …,x_n обнаружитель должен оценить параметр а. Очевидно точность оценки зависит от объема выборки при неограниченном времени наблюдения Т. Однако на практике Т ограниченно, а с увеличением объема выборки при Т = const погрешность оценки не устремляется к нулю. Выборка, у которой n → ∞ при Т = const, называется непрерывной.

Поскольку в задачах обнаружения оценка дискретная (а=0 или1), при конечном объеме выборки можно лишь с некоторыми вероятностями высказать статистические гипотезы. Следовательно, решение задачи обнаружения сводится к проверке двух альтернативных (противоположных) статистических гипотез. Гипотеза H₁- сигнал во входной смеси есть и гипотеза H₀- сигнала нет.

Решение статистической задачи обнаружения сигнала в шуме имеет следующую последовательность:

¨ Выбор и обоснование критериев оптимальности.

¨ Нахождение математического правила решения задачи оптимального обнаружения.

¨ Реализация правила решения с помощью радиотехнических средств (нахождение структурной схемы обнаружителя).

¨ Исследование характеристик оптимального обнаружителя.

¨ Сравнение оптимального и реального обнаружителей.

2.2. Критерии оптимальности обнаружения. Отношение правдоподобия

Критерием оптимальности называется правило, по которому из всех

возможных обнаружителей можно выбрать наилучший.

         Пусть сообщение принимает два значения: а₀ = 0 и а₁ = 1 с априорными вероятностями Р(а₀) и Р(а₁) соответственно.

         В результате наблюдения выборки x₁, …,x_n должно быть получено одно из двух взаимоисключающих решений: А₁ – сигнал есть, А₀ - сигнала нет. Каждая возможная выборка представляется в многомерном пространстве одной точкой. Оптимальный обнаружитель должен разделить пространство выборок на два подпространства Х₁ и Х₀ (соприкасающихся, но непересекающихся) (рис. 2.1.). Если точка М, соответствующая

k-й выборке  (x₁, …,x_n), попадет в подпространство Х₁, - принимается решение А₁, в противном случае принимается решение А₀.

         При решении задачи возможны ошибки двух видов – ложные тревоги (с вероятностью Р_л) и пропуски сигналов (с вероятностью Р_п). Ложные тревоги имеют место в случае, когда в отсутствии       сигнала выборка попадает в пространство Х₁. Пропуски сигналов имеют место, если при наличии сигнала на входе обнаружителя выборка попадает в Х₀.

Из рис. 2.1. следует, что если подпространство Х₁ выбрать равным нулю, то Р_л = 0, Р_п = 1. Если же выбрать равным нулю подпространство Х₀,  то Р_л = 1, Р_п = 0. Таким образом, путем изменения границ подпространств Х₁ и Х₀ можно получить любое соотношение между вероятностями Р_л и Р_п. Уменьшая Р_л, мы тем самым увеличиваем Р_п, и наоборот.

Рис. 2.1. Пространство выборок

        

Оптимальный обнаружитель должен наилучшим образом по определенному критерию разделить пространство выборок Х на два подпространства: Х₁ и Х₀. Наиболее распространенными критериями оптимальности обнаружения являются следующие:

1. Критерий минимума среднего риска

                                 (2.2) 

где r_л и r_п – «весовые» коэффициенты, выбираемые, исходя из значимости каждой ошибки.

Величина называется средним риском.

2. Критерий минимальной «взвешенной» вероятности ошибки

                                             (2.3)

где a и b – весовые коэффициенты.

3. Критерий минимума вероятности полной ошибки (или критерий

идеального наблюдателя, или критерий Зигерта-Котельникова)

                               (2.4)

4. Критерий Неймана – Пирсона

                                             (2.5)

Величиной Р_л задаются, исходя из физической постановки задачи. При этом Р_п минимизируют.

Если априорные вероятности Р(а₀) и Р(а₁) неизвестны, что имеет место во многих случаях, то критерием пользоваться невозможно. В радиолокации чаще пользуются критерием Неймана – Пирсона.

Рассмотрим подробнее критерий минимальной «взвешенной»

вероятности ошибки.

Обозначим отношение тогда

                                                (2.6)

где                                                                    (2.7)

                                                                         (2.8)

         Если при наличии сигнала выборка (х₁,…,х_n) попадет в область Х₁, то имеет место правильное обнаружение. Вероятность правильного обнаружения

                                   (2.9)

откуда

                    (2.10)

Из (2.6), (2.8) и (2.9)

           (2.11)

Следовательно, оптимальный обнаружитель должен обеспечивать максимум интеграла в (2.11)

         (2.12)

Это возможно при положительной подынтегральной разности

> 0;                          (2.13)

т.е.                       > .                            (2.14)

Таким образом, оптимальный обнаружитель должен вычислять величину

                                   (2.15)

определяемую отношением функций правдоподобия и и называемую отношением правдоподобия. Если сравнить с некоторым порогом , то

при   > - сигнал есть,

при   < - сигнала нет.

Все критерии дают оптимальное решение задачи обнаружения, основанное на вычислении отношения правдоподобия и сравнения его с порогом. Отличаются критерии лишь выбором порога.

Для критерия минимума среднего риска

                                         (2.16)

Для критерия минимума взвешенной вероятности ошибки

                                                (2.17)

Для критерия Неймана – Пирсона  задается и минимизируется значение Р_п.

2.3. Бинарное обнаружение полностью известного сигнала

        

Положим, что сигнал u(t) известен точно. Сообщение а принимает два значения: а=а₀=0 и а=а₁=1, с априорными вероятностями Р(а₀) и Р(а₁) соответственно.

         Колебание на входе обнаружителя x(t)=au(t)+n(t), n(t) – нормальный белый шум.

         На основании теоремы Котельникова представим колебание x(t) выборкой (х₁, …х_n) и найдем функцию правдоподобия для выборки в отсутствие сигнала

                              (2.18)

         Функция правдоподобия для выборки в присутствии сигнала

                           (2.19)

         В выражениях (2.18) и (2.19) дисперсии равны в силу физической симметрии и определяются соотношением

                              (2.20)

где N₀ – спектральная мощность шума; F=1/Dt.

         Подставим значения s² в выражения (2.18) и (2.19) и перейдем от суммы к интегралу, устремив при Т=const. Тогда

                 (2.21)

                           (2.22)

Отношение правдоподобия

        (2.23)

где - энергия входного сигнала; - корреляционный интеграл.

Отношение правдоподобия для полностью известного сигнала имеет следующий вид:

                            (2.24)

Для вынесения решения необходимо сравнить с порогом ограничения .

Если  > - сигнал есть, 

Если <  - сигнала нет.

Реализовать правило решения (2.24) радиотехническими методами, т.е. построить обнаружитель, который вычислял бы  и затем сравнивал с порогом, сложно. Желательно отыскать более простое правило решения.

Поскольку при Е=const зависит только от корреляционного интеграла z(T) и эта зависимость монотонная, то вместо  можно установить более простое правило z(T) и сравнивать с порогом z₀.

Если z(T) > z₀ – сигнал есть,

Если z(T) < z₀  - сигнала нет.

Схема оптимального обнаружителя представлена на рис. 2.2 и состоит  из перемножителя, интегратора и порогового устройства (ПУ).

Рис. 2.2. Схема оптимального обнаружителя

         При вычислении корреляционного интеграла z(T) осуществляются переход от многомерного распределения n выборочных значений напряжения на входе обнаружителя к одномерному распределению напряжения z(T) на его выходе в момент времени Т в результате накопления (суммирования) n выборочных значений в течение длительности выборки Т.

         Если входная выборка представляет собой шум n, то z_n(T) определяет напряжение шума на выходе коррелятора. Если выборка – смесь сигнала с шумом, то z_nc(T) можно рассматривать на выходе как аддитивную смесь, поскольку операции суммирования и интегрирования линейные.

         Переход от суммы выборочных значений при n→∞ и Т=const к интегралу осуществляется на основании теоремы Котельникова. Напряжение шума на выходе коррелятора

                                      (2.25)

Напряжение смеси

                           (2.26)

Эти напряжения есть максимальные значения отклика коррелятора на шум и смесь соответственно. Превышение порога z₀ величиной z_nc(T) есть правильное обнаружение и вероятность превышения и называется вероятностью правильного обнаружения Р₀, а превышение порога z₀ величиной z_n(T) с вероятностью Р_л называется ложной тревогой.

Основными показателями обнаружителя являются рабочие характеристики. Каждая характеристика определяет зависимость Р₀, Р_л и q²(q²-отношение сигнал/шум). На рис. 2.3 даны качественные характеристики.

Рис. 2.3. Качественные характеристики обнаружителя.

 Из анализа этих характеристик следует:

¨ вероятность правильного обнаружения Р₀=0 при вероятности ложной тревоги Р_л=0.

¨ чем больше отношение сигнал/шум при заданной вероятности ложной тревоги Р_л, тем больше вероятность правильного обнаружения Р₀.

¨ Если изменять порог z₀ от 0 до ∞, то Р₀ и Р_л будут изменяться от 1 до 0.

По характеристикам можно определить пороговое отношение

сигнал/шум, которое удовлетворяет заданным вероятностям Р₀ и Р_л. Найденному значению  и заданной вероятности Р_л соответствует точка М. Тангенс угла наклона касательной к рабочей характеристике в точке М определяет необходимую величину порога.

.                                                (2.27)

                                        

Для расчета и построения характеристик обнаружения необходимо знать закон распределения отклика коррелятора z(T).

         В отсутствии сигнала отклик определяется шумами на входе обнаружителя и может дать ложную тревогу. Величина отклика сравнивается с порогом z₀ и вероятностью того, что z_n(T) превысит порог z₀, называется вероятностью ложной тревоги.

         Закон распределения  z_n(T) будет нормальным с нулевым средним значением. Дисперсия, которая определяет мощность шума на выходе коррелятора:

.                                 (2.28)

Сренеквадратичное напряжение шума на выходе коррелятора  Закон распределения отклика коррелятора z_n(T) на шум n(t)

                            (2.29)

С увеличением порога ограничения z₀ вероятность Р_л уменьшается. Аналитически вероятность ложной тревоги определяется выражением

                                           (2.30)

В присутствии на входе обнаружителя отклик коррелятора на смесь сигнала с шумом

                        (2.31)

Первый интеграл выражения (2.31) равен Е и определяет амплитуду напряжения на входе коррелятора, которое численно равно энергии входного сигнала и, следовательно, является максимально возможной величиной. Второй интеграл определяет флюктуацию с нулевым средним значением отклика (напряжение шумов) коррелятора.

Случайная величина z_nс(T) распределена по нормальному закону

                   (2.32)

Распределения W_n(z) и W_nc(z) отличаются средними значениями, дисперсии откликов одинаковы.

Вероятность правильного обнаружения вычисляется по формуле

                                       (2.33)

После преобразований вероятность правильного обнаружения

                               (2.34)

Порог ограничения вычисляется в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

Зависимость Р₀ от q² при Р_л=const называется характеристикой обнаружения. Для различных значений Р_л можно построить семейство характеристик обнаружения. Характеристики обнаружения для полностью известного сигнала изображены на рис. 2.4

Рис. 2.4. Характеристики обнаружения для полностью известного сигнала

2.4. Обнаружение сигнала со случайной начальной фазой

         Рассмотрим задачу обнаружения сигнала, у которой фаза высокочастотного колебания изменяется по случайному закону. Плотность распределения фазы равномерна в пределах 0….2π. Отношение правдоподобия в этом случае будет еще и функцией фазы β. Энергия сигнала мало зависит от β, поэтому считаем ее постоянной.

Выражение для корреляционного интеграла через огибающую и фазу запишется в виде:

                (2.35)

где

                                          .

Отношение правдоподобия для полностью известного сигнала равно:

                            (2.36)

которое является случайной функцией β.

Отношение правдоподобия для сигнала со случайной фазой:

                           (2.37)

Показатель экспоненты является постоянной величиной, - монотонной функцией Z(T), поэтому оптимальным правилом решения задачи обнаружения сигнала является вычисление корреляционного интеграла Z(T). Затем Z(T) сравнивается с порогом Z₀.

Если Z(T) > Z₀ – сигнал есть, если Z(T) < Z₀ – сигнала нет.

Структурная схема обнаружителя, включающая два квадратурных канала, представлена на рис. 2.5  В каждом канале вычисляется корреляционный интеграл z₁ (T) и z₂(T) соответственно. В квадратичном детекторе (Кв.Д.) осуществляется операция возведения в квадрат; после вычисления величины  производится сравнение с порогом Z_0, который устанавливается в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

Рис. 2.5. Структурная схема обнаружителя

В качестве опорных напряжений на умножителях используются сдвинутые по фазе на π/2 колебания высокой или промежуточной частоты  и В результате отклик Z² не зависит от случайной фазы сигнала, так как

Вероятность правильного обнаружения равна:

                           (2.38)

где - относительный порог ограничения.

2.5. Бинарное обнаружение сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой

Для сигнала  среднеквадритичное значение амплитуды принять равным единице, то выражение для отношения правдоподобия запишется в следующем виде:

                         (2.39)

Схема оптимального обнаружителя сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой не отличается от схемы оптимального обнаружителя сигнала со случайной фазой. По-прежнему оптимальной является квадратурная схема обработки. Изменяется только оптимальный порог, который вычисляется по формуле

                              (2.40)

По этой зависимости можно построить характеристики обнаружения

.                                             (2.41)

Особенность характеристик обнаружителя со случайными амплитудой и начальной фазой состоит в том, что с ростом q² вероятность обнаружения увеличивается сначала быстро, после достижения значений q²=0,5…0,6 это увеличение замедляется, а затем становится очень медленным.

Таким образом, характеристики обнаружения для сигнала со случайной начальной фазой сдвигаются в сторону увеличения отношения сигнал/шум, т.е. для обнаружения сигнала требуется   большое напряжение его на входе, чем для полностью известного сигнала. Для сигнала со случайной амплитудой и начальной фазой отклик является случайной функцией амплитуды и фазы, поэтому необходимо усреднить отношение правдоподобия и по амплитуде, и по фазе. Характеристики обнаружения сдвигаются еще правее, за исключением участка, где отношение сигнал/шум меньше единицы. Флюктуации амплитуды при q² < 1 несколько увеличивают вероятность обнаружения.

2.6. Обнаружение сигнала в виде пачки радиоимпульсов

В радиолокации часто применяют сигналы, представляющие собой последовательность из N импульсов, которую для краткости называют пачкой импульсов.

Каждый импульс u_i(t) такой пачки полностью характеризуется амплитудой a_i, частотой f_i, начальной фазой φ_i, длительностью τ_i, моментом возникновения t_i.

Если зависимость между всеми параметрами импульсов пачки в месте приема полностью известна, то такие импульсы и такая пачка называются когерентными. В противном случае пачка называется некогерентной.

2.6.1. Когерентная пачка импульсов с полностью известными параметрами

Пачка с полностью известными параметрами является частным случаем, полностью известного сигнала и для нее справедливы все расчетные формулы для известного случая. Энергия сигнала u(t):  поэтому для пачки энергия:  где Е_i – энергия i-го импульса.

Следовательно, все приведенные выше формулы для вероятностей ошибок будут справедливы и для пачки импульсов, если в них понимать под Е энергию всех импульсов пачки, равную сумме энергий всех N импульсов пачки. Если суммарная энергия пачки импульсов такая же, как и у одиночного импульсного сигнала, ошибки обнаружения не изменяются.

Структурная схема обнаружителя для пачки подобна изображенной на рис. 2.2.  Однако в этом случае на перемножитель нужно подавать «копию» сигнала в виде пачки радиоимпульсов. Максимальное значение отклика коррелятора будет в момент окончания пачки.

2.6.2. Некогерентная пачка радиоимпульсов с независимыми флюктуациями амплитуды

Сигнал в этом случае запишется так:  Оптимальное правило решения будем искать на основании критерия максимума отношения правдоподобия. Для k-го импульса отношение правдоподобия :

                     (2.42)

При независимых флюктуациях амплитуды импульсов отношение правдоподобия для всего сигнала можно представить в виде произведения отношений правдоподобия для импульсов, тогда:

                                         (2.43)

После выполнения операции умножения в показателе экспоненты будет сумма откликов на каждый импульс пачки. Поскольку  монотонно изменяется с изменением этой суммы, то в этом случае нужно вычислять

                                        (2.44)

Так же, как и для одиночного импульса, отклик Z(T) будет пропорционален энергии входного сигнала, т.е. энергии пачки импульсов. Результат сравнивают с порогом Z₀, выбранным на основании критерия оптимальности. Схема обнаружителя аналогична данной на рис. 2.5.  Разница будет состоять в том, что копии сигналов, подаваемых на перемножители, в данном случае представляют собой пачки радиоимпульсов.

2.7. Различение детерминированных сигналов на фоне белого гауссовского шума

                   Корреляционная функция белого шума со спектральной плотностью N₀ равна  После соответствующих преобразований получаем оптимальный аналоговый алгоритм различения сигналов на фоне аддитивного белого гауссовского шума: принимается решение о том, что передан сигнал S_k(t), если

           (2.45)

где с_j определяется по формуле   в которой параметр  т.е. равен отношению энергии Е_j сигнала S_j(t) на интервале наблюдения к спектральной плотности белого шума.

Для ортогональных сигналов :

2.8. Принцип работы цифровых обнаружителей и различителей сигналов

         Оптимальные алгоритмы обнаружения и различения сигналов, как известно, заключаются в накоплении сигнала за длительность входной реализации, сравнении с порогом и измерении параметров сигнала. Реализация алгоритмов в аналоговой форме имеет существенные недостатки:

¨ Аналоговым накопителям свойственно насыщение, в результате которого уменьшается отношение сигнал/шум при накоплении сигналов.

¨ Результаты накопления изменяются в процессе эксплуатации за счет нестабильности элементов динамической памяти.

¨ Нет возможности полной автоматизации процесса обработки сигналов.

¨ Оценка параметров сигналов в процессе обзора сопровождается ошибками, существенно превышающими потенциальные.

Цифровые алгоритмы квазиоптимальны за счет потерь в отношении сигнал/шум при квантовании смеси по амплитуде и дискретизации по времени. Кроме того, реализация алгоритмов в цифровой форме осуществляется на стандартных элементах вычислительной техники, что упрощает конструкции, снижает вес и габариты, увеличивает надежность.

Рис. 2.6. Цифровая схема обнаружения

На рис. 2.6 дана простейшая схема цифровой схемы обнаружения сигналов. Схема включает квантователь по уровню смеси сигнала с шумом (пороговое устройство 1), дискретизатор по времени, выполненный в виде генератора стандартных импульсов (ГСИ), многоканальную схему измерения дальности, включающую регистр сдвига, вентили совпадений (ВС) и накопители сигналов (НУ), распределитель каналов (коммутатор) и анализатор сигналов.

2.9. Дискретизация и квантование непрерывных сигналов

                   Длительность и период дискретизации выбирают так, чтобы последовательность дискретных значений непрерывного сигнала в течение времени наблюдения позволила восстановить исходный сигнал с заданной точностью.

Вероятность обнаружения смеси Z(t):

                                       (2.46)

Из этого выражения следует, что с увеличением μ увеличивается вероятность обнаружения сигнала и тем больше, чем меньше исходная вероятность Р₀₁.

                   Следовательно, увеличение периода квантования приводит к увеличению вероятности обнаружения сигнала, но при этом уменьшается разрешающая способность и точность измерения дальности. Поэтому период квантования Т₀ выбирается из условий получения заданной точности измерения при ограниченной сложности измерительного устройства.

Информация в лекции "4 Режущие многогранные пластины" поможет Вам.

                   Квантование амплитуд сигналов на два уровня означает определение наличия или отсутствия сигнала в дискретном по времени выборочном значении сигнала. На выходе бинарного квантователя появляются 1 и 0 в присутствии сигнала с вероятностью правильного обнаружения

                                             (2.47)

и пропуска сигнала Р_п = 1 – Р₀, а в отсутствие сигнала с вероятностью ложной тревоги

                                               (2.48)

и правильного необнаружения  Р_н = 1 – Р_л. Функции W_nc(Z) и W_n(Z) – распределение смеси сигнала с шумом и шума на выходе детектора огибающей.

После логарифмирования отношения правдоподобия ) получаем условие оптимального обнаружения квантованной пачки в виде: