Фракталы

ГЛАВА I. ФРАКТАЛЫ

Определение фрактала

Эти объекты вошли в научный обиход в 70-х годах прошлого века бла­годаря работам Бенуа Мандельброта. Фракталами называются геометричес- кие объекты – линии, поверхности, пространственные тела, – имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия. Слово фрактал произошло от латинского fractus и переводится как дробный, или ломаный. Самоподобие как основная характеристика фрактала означает, что он достаточно единообразно устроен в широком диапазоне масштабов. В идеальном случае самоподобие приводит к тому, что фрактальный объект оказывается инвариантным относительно растяжений, т. е.,  ему присуща дилатационная симметрия. Она предполагает неизменность основных геометрических особенностей фрактала при изменении масштаба.

Для реального природного фрактала существует некоторый минимальный масштаб длины l_min, такой, что на расстояниях l ≈ l_min, его основное свойство – самоподобие – пропадает. Кроме того, на достаточно больших масштабах длин l > l_mах, где l_mах – характерный геометрический размер объектов, свойство самоподобия также нарушается. Поэтому свойства природных фракталов рассматриваются лишь на масштабах l, удовлетворяющих соотношению l_min<< l << l_mах , в так называемой, промежуточной асимптотике.

Как всякое фундаменталь­ное по­нятие, фрактал не имеют определения и, следовательно, должен опреде­лятся спи­ском свойств.

Тем не менее, существует как минимум три определения фракталов, без­ус­ловно, не являющихся полными, каждое из которых обращает внима­ние на не­кую существенную особенность этих объектов:

1. фрактал – это объект, в каком-то смысле подобный самому себе;

2. фрактал – это объект, размерность которого строго больше его топологи­че­ской размерности;

3. фрактал – это объект, содержащий в себе "дыры" всех размеров, что фак­ти­чески сводится к констатации его самоподобия на разных масшта­бах.

Рекомендуемые материалы

Классификация фракталов

Для того, чтобы представить все многообразие фракталов удобно при­бег­нуть к их общепринятой классификации

1. Регулярные (геометрические) фракталы

Свойства природных фрактальных объектов чрезвычайно разнооб­разны и сложны, поэтому для их исследования используются модель­ные фракталы, сгене­рированные по специальным алгоритмам. Такие искусст­венные фрак­тальные объ­екты носят название регулярных фракталов. Фракталы этого класса самые нагляд­ные. В двухмерном случае их полу­чают с помощью не­которой ломаной (или по­верхности в трехмерном слу­чае), называе­мой гене­ратором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих лома­ную, заменяется на лома­ную-генератор в соответст­вующем масштабе. В ре­зультате бесконечного повторе­ния этой проце­дуры, получается геометриче­ский фрактал.

Триадная кривая Коха

Примером регулярных фракталов является триадная кривая Гельга фон Коха, т. н. «Снежинка Коха», процесс построения которой можно предста­вить следующим об­разом (см. рисунок):

1. отрезок единичной длины l делится на 3 части, средняя часть отрезка             отбрасывается и заменяется ломаной, состоящей из 2 отрезков длины 1/3;

2. каждый прямой отрезок полученной ломанной преобразуется со­гласно пункту 1, и мы получаем более изощренную ломаную линию;

3. пункты 1 и 2 повторяются до исчерпания технических возможностей чер­теж­ного приспособления.

 На первом шаге алгоритма длина отрезка l составляет 1/3 от первона­чаль­ной. Тогда длина кривой Кох вычисляется просто

L =  4*1/3  = 4/3 = 1,33

На втором шаге алгоритма длина элементарного отрезка l = 1/9,  длина кри­вой

L= 16*1/9 = 16/9 = 1,777

На третьем шаге алгоритма l = 1/27

L= 64*1/27 = 64/27 = 2,370370

и т.д. Можно заметить, что с увеличением количества стадий построения длина элементарного отрезка l ® 0, а длина кривой L стремится к беско­неч­ности:

L= (4/3)ⁿ

l= (1/3)ⁿ ,

где n= 1,2,3.

Треугольник и квадрат Серпинского

Еще один пример  регулярного фрактала – треугольник Вацлава Сер­пин­ского («Салфетка Серпинского»). Способ его построения ясен из рисунка: на нем пред­ставлен тре­уголь­ник Серпинского на 3-й стадии построения, кото­рая получена при со­единении середин сторон соответствующих равносто­ронних треугольни­ков. 

На следующем рисунке – треугольник Серпинского, полу­ченный при мно­го­кратном соединении середин сторон соответствующих треугольни­ков.

                                

Аналогично можно построить ковер  Серпинского, который является двумерным аналогом канторовского множества исключенных средних третей. Алгоритм его создания состоит в следующем. Каждая из сторон квадрата единичной площади делится на три равные части, а весь квадрат, соответственно, на девять одинаковых квадратиков со стороной, равной Из полученной фигуры вырезается центральный квадрат.

Затем такой же процедуре подвергается каждый из 8 оставшихся квадратиков и т. д.

В результате получается дырявый квадратный ковер Серпинского со значением фрактальной размерности

D = ln8 / ln3 = 1.8928 .

Он также представляет собой пример идеального самоподобного фрактала. Его фрактальная размерность, однако, больше, чем у салфетки Серпинского, т. е., он является в каком-то смысле «менее дырявым».

Губка Менгера

Алгоритм создания пространственного аналога квадратного ковра Серпинского, называемого губкой Менгера, состоит в следующем. Каждая грань куба, имеющая единичную длину, делится на 9 равных квадратиков так же, как и при построении квадратного ковра Серпинского. В результате исходный куб разбивается на 27 одинаковых кубиков с длиной ребра, равной Затем, удаляя 7 кубиков (один центральный и 6 из центра каждой из граней), противоположные грани исходного куба соединяются сквозным центральным отверстием квадратной формы. В результате из 27 остается 20 маленьких кубиков.

Такая итерационная процедура с вырезанием сквозных отверстий и последующего превращения каждого оставшегося кубика в 20 еще более мелких кубиков с размером в три раза меныие исходного продолжается до бесконечности. В результате этих операций и образуется идеально самоподобный объект губка Менгера. Каждая грань исходного куба выглядит при этом так же, как ковер Серпинского.

Фрактальная размерность губки Менгера равна

 

Посколькуто губка имеет нулевой объем, но обладает бесконечной площадью поверхности своих пор.

Легко заметить, что для фигур, обладающих свойством идеального самоподобия, правило позволяющее определить размерность можно сформулировать следующим образом.

Если множество, состоящее из одинаковых элементов, строится с помощью самоподобного процесса, причем на любом шаге каждый из элементов с линейными размерамизаменяется подобными элементами,  размерамикаждый, то фрактальная размерность такого объекта очевидно равна

 

Для всех рассмотренных выше регулярных фракталов фрактальная размерностьоказалась меньше, чем размерность того пространства d в котором находится данный фрактальный объект. Неравенство отражает факт некомпактности фрактала, причем, чем больше различаются величины  и d , тем более рыхлым является фрактал.

Кривая Госпера

Инициатором для кривой является отрезок единичной длины, а генератор показан на рисунке справа. Он состоит из 7 отрезков длинойкаждый. Фрактальная размерность этой кривой равна 2.

Пунктиром показана треугольная решетка, служащая своеобразной образующей для этого генератора. Следующие три шага процесса построения показаны на рисунке.

Интересной отличительной особенностью кривой Госпера является то, что граница области, называемой "островом Госпера", которую она заполняет в пределе бесконечного числа шагов, сама является фрактальной с нецелочисленной размерностью 1.1291. Такие острова можно использовать для непрерывного покрытия плоскости, так как можно показать, что они идеально стыкуются друг с другом. Более того, семь таких островов, состыкованных вместе (один в центре и шесть вокруг него), образуют снова остров Госпера в три раза большего размера. Заметим, что подобным свойством из правильных многоугольников обладает только квадрат.

Пример кривой Пеано – «дракон» Хартера-Хейтуэя

Рассмотрим кривую Пеано, для которой область, которую она заполняет на плоскости, имеет весьма причудливую форму. Это так называемый дракон Хартера-Хейтуэя. Первые 4 шага его построения изображены на рисунке. Как следует из рисунка, каждый из отрезков прямой

на следующем шаге заменяется на два отрезка, образующих боковые стороны равнобедренного прямоугольного треугольника, для которого исходный отрезок являлся бы гипотенузой. В результате отрезок как бы прогибается под прямым углом. Направление прогиба чередуется. Первый отрезок прогибается вправо (по ходу движения слева направо), второй – влево, третий – опять вправо и т. д. Для удобства восприятия на каждом рисунке пунктиром показана конфигурация предыдущего шага. Таким образом, после каждого шага число имеющихся отрезков удваивается, а длина каждого соответ-ственно уменьшается враз. Поэтому фрактальная размерность образующейся в результате (после бесконечного числа шагов) кривой равна 2, т. е., кривая «заметает» собой конечную площадь. 0 форме образующейся необычной фигуры можно получить представление из рисунка, где изображены 12-е и 16-е "поколения" дракона. Дракон представляет собой своеобразную гирлянду в форме двухсторонней правой спирали, состоящую из подобных друг другу спиралевидных звеньев, непрерывно уменьшающихся в размерах от центра к периферии.

Обратите внимание, что такой достаточно примитивный алгоритм приводит к столь необычной геометрической конструкции. Биологический подтекст, фигурирующий в названии кривой, заставляет задуматься, а не закодирована ли в генах каким-нибудь схожим простым образом информация о форме и размерах существующих в природе живых организмов? Рассмотренная выше кривая представляет собой лишь один из многих примеров так называемых Л-систем, изобретенных Аристидом Линденмаером в 1968 г. для моделирования биологического роста. Он показал, что предельная геометрия даже очень простых систем может быть фрактальной.

Вселенная Фурнье

В попытке понять устройство Вселенной учёные неизбежно сталкиваются с понятием фрактала.

Предположим, что нужно определить, с какой средней плотностью распределены звезды или галактики в видимой части Вселенной. Представим сферу достаточно большого радиуса внутри которой находится очень много звезд. Тогда по определению средняя концентрация звезд  где— объем сферы. Можно предположить, что если радиус сферы достаточно велик, то концентрация звезд не будет зависеть от этого радиуса.

Опытные данные, однако, говорят об обратном. С ростомвеличина п непрерывно уменьшается. И, что интересно, уменьшение происходит примерно по степенному закону , где т. е., намного меньше 3. Это соответствует тому, что число звезд в сфере радиуса растет как N = R^1,23, т. е., гораздо медленнее, чем было бы в случае их однородного распределения в пространстве. Таким образом, распределение звезд и галактик во Вселенной сильно неоднородно. Количественной мерой этой неоднородности может служить отличие показателя степени  от 3. Саму же величину можно отождествить с фрактальной размерностью распределения материи во Вселенной.

Действительно, при определении, например, фрактальной размер-ностибереговой линии, мы исходили из соотношения  где величина была расстоянием между парой точек А и В на береговой линии по прямой, длинабыла нашим масштабом измерения, а числопоказывало, сколько раз этот масштаб укладывался вдоль береговой линии между точками А и В. В соответствии с этой формулой фрактальную размерность можно трактовать двояко. С одной стороны, в полном согласии с определением она показывает, как с уменьшением масштабарастет число элементов, с помощью которых можно покрыть некоторую выделенную область на данном фрактале. С другой стороны, она показывает, как то же число растет с увеличением , размера этой области. Причина такой двойственности, очевидно, кроется в том, что у фрактала нет своего собственного масштаба длины, а поскольку числодолжно быть безразмерным, то показатель степени оказывается одним и тем же как для зависимости так и для зависимости

Как можно себе наглядно представить распределение звезд в трехмерном пространстве, имеющее фрактальную размерность близкую к единице? Разумеется, ответ на этот вопрос сильно неоднозначен. Существует бесконечное количество различных конструкций, имеющих одно и то же значение фрактальной размерности. Одним из классических примеров, который мы сейчас рассмотрим, является вселенная Фурнье, названная так по имени американского журналиста и изобретателя, который предложил ее в 1907 году. Она показана на рисунке.

Каждая точка на этом рисунке представляет собой одну галактику. Они объединены в скопления радиуса по 7 галактик в каждом скоплении. На рисунке видны только пять из них: недостающие две расположены симметрично над и под плоскостью рисунка, на прямой, проходящей через центр скопления. В свою очередь, семь таких скоплений аналогичным образом объединены в одно суперскопление радиуса Затем по такому же принципу из семи суперскоплений строится одно суперсуперскопление радиуса , причем  и т. д. В результате многократного повторения такого процесса возникает самоподобная фрактальная структура.

Ее фрактальную размерность легко определить, заметив, что, как следует из рисунка, в сфере радиуса содержится в семь раз больше галактик, чем в сфере радиуса , т. е. Решением этого уравнения является степенная функция где D=ln7/ln(R₂/R₁)

У Фурнье , поэтому размерность такой вселенной равняется 1. Как видно, она для этого вовсе не обязательно должна быть прямой или какой-нибудь другой плавной кривой. Более того, она даже не должна быть связной. Меняя отношениелегко построить фрактальные вселенные с другими размерностями близкими к единице.

2. Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов. Получают их с помощью нелиней­ных процессов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискрет­ную динамиче­скую систему, можно пользоваться терминологией теории этих систем: фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколь­кими ус­тойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динами­ческая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Поэтому каждое устойчивое состояние (или как говорят – аттрак­тор (см. главу 4)) обладает некоторой областью начальных состояний, из ко­торых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Таким образом, фазовое пространство системы разбивается на области при­тяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цве­товой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Ме­няя ал­горитм выбора цвета, можно получить слож­ные фрактальные картины с при­чудливыми мно­гоцветными узорами. Не­ожидан­но­стью для математи­ков стала воз­можность с помощью примитивных алгорит­мов порождать очень сложные нетри­виаль­ные структуры. Алгоритм его построения достаточно прост и основан на простом ите­ративном выражении:

Z[i+1] = Z[i] * Z[i] + C,

где Zi и C - комплексные переменные. Итерации выполняются для каждой стартовой точки C прямоугольной или квадратной области – подмножестве

                         
 комплексной плоскости. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока Z[i] не выйдет за пределы окружности радиуса 2, центр которой лежит в точке (0,0), (это означает, что аттрактор динамической системы находится в бесконечности), или после достаточно большого числа итераций (например, 200-500) Z[i] сойдется к какой-нибудь точке окружности. В зависимости от количества итераций, в течении которых Z[i] оставалась внутри окружности, можно установить цвет точки C (если Z[i] остается внутри окружности в те­чение достаточно большого количества ите­раций, итерационный процесс прекращается и эта точка растра окрашивается в черный цвет).
         Вышеописанный алгоритм дает приближение к так называемому мно­жеству Мандельброта. Множеству Мандельброта принадлежат точки, кото­рые в течение бесконечного числа итераций не уходят в бесконечность (точки имеющие черный цвет). Точки, принадлежащие границе множества (именно там возникает сложные структуры) уходят в бесконечность за ко­нечное число итераций, а точки лежащие за пределами множества, уходят в бесконечность через несколько итераций (белый фон).

3.  Стохастические фракталы

Известным классом фракталов являются стохастические фракталы, ко­торые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные – несимметричные деревья, изрезанные берего­вые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при мо­делировании рельефа местности и поверхности моря.

Простейшим стохастическим  фракталом является траектория частицы, совершающей брауновское движение.

Фрактальными свойствами обладают многие географические объекты –побережья, реки, горы, границы государств, если только они  следуют есте­ствен­ным ориентирам, а не проведены линейкой по карте. Курьёзный факт: длина границы между Испанией и Португалией, приведенные в справочни­ках каждой из стран, отличаются на 20%, имеет несложное объяснение: при измерении использованы различные масштабы.

Для того, чтобы можно было говорить о фрактальных свойствах сис­темы, необходимо, чтобы различие минимального и максимального масшта­бов было достаточно большим. Если речь идет о морском или океанском по­бережье, то максимальный масштаб будет порядка 1000 км, а минимальный, определяемый непостоянством границы из-за набегающих волн, приливов и отливов – порядка 1 – 10 м. Эти масштабы отличаются в миллион раз.

Существует множество физических процессов, приводящих к возникно­вению интересных и сложных фрактальных структур. Например, выращива­ние кристаллов из насыщенного раствора. Если раствор не слишком перена­сыщен и достаточно хорошо перемешивается, то из подвешенной на нити за­травки вырастает красивый кристалл правильной формы. Кристалл растет из-за того, что в своем тепловом движении какие - то молекулы подходят к тем местам на его поверхности, где они могут "прилипнуть", заняв наиболее вы­годное с энергетической точки зрения положение. Конечно, большинство молекул попадает в не совсем подходящие места, однако рано или поздно они снова переходят в раствор или расплав из-за недостаточной связи с ос­тальным кристаллом. В результате такого равновесного роста получается кристалл без внутренних пустот, с идеально гладкими плоскими гранями.

При отсутствии равновесия между кристаллизацией и растворением (т.е., при быстрой кристаллизации из сильно пересыщенного раствора или при кристаллизации из газовой фазы) появляются кристаллы совсем другого вида. Как, например, морозные узоры на окнах. Эти довольно рыхлые обра­зования возникают из-за осаждения содержащейся в воздухе воды. Сначала образуются отдельные скопления молекул – так называемые кластеры; по­степенно разрастаясь и соединяясь, кластеры и образуют узоры. Условия, сходные с теми, что имеют место при росте кластеров, существуют и при росте снежинок в облаке.

Такой процесс роста, называемый диффузионно-контролируемой агре­гацией, приводит к возникновению кристалликов фрактальной  формы – ден­дритов.  В зависимости от взаимодействия  образующих кристалл молекул и от размера самого кристалла дендрит может быть случайной, неправильной формы или, напротив, казаться идеально правильной фигурой, как хорошо знакомые всем снежинки. В действительности о правильной форме снежинок можно говорить лишь на достаточно больших масштабах (на размерах самой снежинки), а на малых  масштабах никакой регулярности нет – это отражает те случайные процессы, которые привели к их образованию.

Очень похожие на дендритные кристаллы фигуры возникают при элек­трическом пробое диэлектриков. Если сильная электрическая искра ударяет в диэлектрическую пластинку, на ее поверхности остается отчетливо видимый узор – так называемые фигуры Г. Лихтенберга.

Фрактальными свойствами обладают многие системы, давно используе­мые для вполне практических целей. Например, поверхность активирован­ного угля, используемого в качестве сорбента в противогазах, является фрак­тальной. Размерность этой поверхности больше 2: она имеет чрезвычайно большую (формально – бесконечную, в том же смысле, в каком бесконечна длина кривой Коха) площадь и выемки всех масштабов, способные поймать и надежно удержать частицу любого размера – от пылинки до большой моле­кулы. Фрактальной является также поверхность многих используемых в хи­мии твердых кристаллизаторов.

Идея размерности

В евклидовом пространстве R^E величины топологической размерности D_T и фрактальной размерности D заключены в промежутке от 0 до E. При этом размерность D_T всегда является целым числом, в то время как для раз­мерности D это не обязательно. Эти две размерности могут не совпадать, они должны лишь удовлетворять неравенству Спилрайна D >  D_T . В случае же евклидовых множеств D = D_T .

Таким образом, фракталом будем называть такое множество, для ко­то­рого  фрактальная размерность строго больше его топологической размерно­сти.

Эффективная размерность

Помимо математических идей, лежащих в основе размерностей D и D_T, воспользуемся понятием эффективной размерности, которая выражает соот­ношение между математическими множествами и естественными объектами, обусловлена приближением и, как следствие, степенью разрешения и неиз­бежно опирается на субъективный фундамент. Для примера возьмем шар диаметром 10 см, скрученный из толстой нити диаметром 1 мм.

Удаленному наблюдателю клубок покажется фигурой с нулевой размер­ностью, т.е., точкой. С расстояния в 10 см шар из нитей выглядит как трех­мерное тело, а с расстояния в 10 мм – как беспорядочное переплетение одно­мерных нитей. На расстоянии в 0,1 мм каждая нить превратится в толстую колонну, а вся структура целиком опять станет трехмерным телом. На рас­стоянии 0,01 мм колонны превратятся в переплетение волокон, и шар снова станет одномерным. При дальнейшем приближении процесс становится пе­риодическим – размерность наблюдаемой фигуры переключается с одного значения на другое и наоборот. Наконец, когда клубок превратится в скопле­ние, состоящее из какого-то конечного числа точек, имеющих размеры по­рядка атомных, его размерность станет снова равной нулю. Похожую после­довательность смены размерностей можно наблюдать при разглядывании листа бумаги.

Как измерить размерность

Воспользуемся еще одним определением размерности, которым часто пользуются при экспериментальном измерении размерности различных фи­зических систем.

Пространство, в котором расположен интересующий нас объект, разби­вают на клетки размером l (например, наносят на плоскость фотографии объекта квадрат­ную сетку со стороной l). Подсчитывают число клеток, в ко­торые по­пали точки объекта. Разбиение повторяют, используя меньший мас­штаб l¢ < l и т.д. Зависимость числа клеток, в которые попали точки объекта, от размера клетки при этом дается законом N = Аl^-D , где D и есть искомая размерность. Для определения раз­мерности реальных объектов рисуют гра­фик зависимости lnN от lnl. Этот график изображается прямой линией, тан­генс угла наклона которой дает нам значение D.

Самоподобие фракталов

Однородное распределение вдоль линии, на плоскости или в простран­стве обладает двумя свойствами: оно инвариантно при смещении и при изме­нении масштаба. При переходе к фракталам обе инвариантности неизбежно подвергаются модификации или ограничению области их действия. Следова­тельно, "наилучшими" можно считать фракталы, которые демонстрируют максимальную инвариантность.

В случае смещения различные участки траектории брауновского движе­ния частицы не могут быть точно совмещены друг с другом, как, например, могут быть совмещены различные участки прямой линии. Тем не менее, можно считать, что эти участки совместимы в статистическом смысле. Почти все фракталы в той или иной степени инвариантны при смещении.

Более того, большинство фракталов инвариантны при некоторых преоб­разованиях масштаба. Будем называть их масштабно-инвариантными фрак­талами. Фрактал, инвариантный при обычном геометрическом преобразова­нии подобия, называется самоподобным.

МУЛЬТИФРАКТАЛЫ

Геометрическое описание мультифракталов

Мультифракталы – неоднородные фрактальные объекты, для описания которых недостаточно, в отличие от регулярных фракталов, введения одной величины – его фрактальной размерности D, а необходим целый спектр таких размерностей, число которых бесконечно. Проще всего пояснить, что понимается под "неоднородным фракталом" на примере треугольника Серпинского.

Допустим, что в методе случайных итераций по какой-то причине отдали предпочтение одной из вершин треугольника, например, некой вершине А, и стали выбирать ее с вероятностью 90%. Две же остальные вершины Β и С по-прежнему равноценны, но на их долю теперь приходится всего лишь по 5%. Ясно, что точки внутри треугольника распределены теперь крайне неравномерно. Большая их часть находится у вершины Α и ее прообразов. Β тο же время у вершин Β и С (и их прообразов) их имеется крайне мало. По обычной терминологии данное множество точек (при стремлении числа итераций κ бесконечности) является фракталом, так как сохранилось основное свойство фрактала – самоподобие.

На рисунке детально показано результирующее распределение точек по треугольнику Серпинского. Цифры в каждом из маленьких треугольников показывают его относительную заселенность точками множества.

        

Однако несмотря на неравномерность распределения точек по фракталу, его фрактальная размерность осталась при этом прежней, Покрытие этого множества все более и более мелкими треугольниками можно осуществить по тому же алгоритму, что и ранее. Такое совпадение заставляет заняться поиском иных количественных характеристик, которые могли бы отличить неравномерное распределение точек от равномерного.

Другой, более сложный пример неоднородного фрактала показан на следующем рисунке. Здесь слева показан большой квадрат со стороной, равной единице, который на этом (нулевом) этапе полностью покрывает собой некоторое фрактальное множество точек На следующем (первом) этапе, в центре рисунка, показано, как то же самое множество можно покрыть тремя меньшими квадратами со сторонами в которых, содержится доля всех точек, соответственно.

Следующий этап покрытия (изображенный на рисунке справа) со-держит уже 9 квадратиков со сторонами(в нижнем правом углу) и (вверху справа и слева). Относительная заселенность этих квадратиков точками множества показана на рисунке. Она соответствует произведению факторов  заселенностей (вероятностей):

  – для нижней правой группы,  – для верхней левой и – для верхней правой группы. Отметим, что имеется строгое соответствие между заселенностью квадратика и его размерами

Дальнейший процесс разбиения и покрытия множества М. осу-ществляется в соответствии с этой ренормализационной схемой. Каждый квадратик, имеющий на n-м шаге размер l и заселенность р, заменяется на п+1 шаге на три квадратика с размерами  и заселенностями соответственно, расположенными таким же образом относи тельно друг друга, как показано на рисунке в центре .

Два рассмотренных выше случая представляют собой примеры не-однородных фракталов. Под словом "неоднородный" понимается неравномерное распределение точек множества по фракталу. Причина неоднородности в обоих случаях – разные вероятности заполнения геометрически одинаковых элементов фрактала, или в общем случае несоответствие вероятностей заполнения геометрическим размерам соответствующих областей. Такие неоднородные фрактальные объекты в литературе называются мультифракталами.

Обобщенные размерности А. Реньи. Определение мультифрактала

 Рассмотрим фрактальный объект, занимающий некую ограниченную областьразмера L в эвклидовом пространстве с размерностью d. Пусть на каком-то этапе его построения он представляет собой множество из точек, как-то распределенных в этой области. Предположим, что Примером такого множества может служить треугольник Серпинского, построенный методом случайных итераций. Каждый шаг итерационной процедуры добавляет к этому множеству одну новую точку.

Разобьем всю областьна кубические ячейки со стороной и объемом  Далее нас будут интересовать только занятые ячейки, в которых содержится хотя бы одна точка. Пусть номер занятых ячеек і изменяется в пределах– суммарное количество занятых ячеек, которое, конечно, зависит от размера ячейки

Пустьпредставляет собой количество точек в ячейке с номером і, тогда величина

 

представляет собой вероятность того, что наугад взятая точка из нашего множества находится в ячейке і. Другими словами, вероятнос-тихарактеризуют относительную заселенность ячеек. Из условия нормировки вероятности следует, что

 

Введем в рассмотрение обобщенную статистическую сумму характеризуемую показателем степени q, который может принимать любые значения в интервале

Венгерский математик Альфред Реньи предложил понятие спектра обобщенных фрактальных размерностей характеризующих данное распределение точек в области которое определяется с помощью соотношения

 

где функция имеет вид

 

Известно, если т. е., не зависит от q, то данное множество точек представляет собой обычный, регулярный фрактал, который характеризуется всего лишь одной величиной – фрактальной размерностью D. Напротив, если функция как-то меняется с q, то рассматриваемое множество точек является мультифракталом.

Таким образом, мультифрактал в общем случае характеризуется некоторой нелинейной функцией определяющей поведение статистической суммыпри

 (*)

Следует иметь в виду, что в реальной ситуации всегда имеем конечное, хотя и очень большое число дискретных точек N, поэтому при компьютерном анализе конкретного множества предельный пере-ходнадо выполнять с осторожностью, помня, что ему всегда предшествует предел

Покажем, как ведет себя обобщенная статистическая сумма в случае обычного регулярного фрактала с фрактальной размерностью D. В этом случае во всех занятых ячейках содержится одинаковое количество точек

то есть, фрактал является однородным. Тогда очевидно, что относительные населенности всех ячеек,тоже одинаковы, и обобщенная статистическая сумма принимает вид

 (**)

Учтем, что согласно определению фрактальной размерности D, число занятых ячеек при достаточно маломведет себя следующим образом

Подставляя это выражение в формулу (**) и сравнивая с (*), приходим к выводу, что в случае обычного фрактала функция

 

т. е., является линейной. Тогда все и действительно не зависят от q. Для фрактала, все обобщенные фрактальные размерности  которого совпадают, часто используется термин монофрактал.

Если распределение точек по ячейкам неодинаково, то фрактал является неоднородным, т. е., представляет из себя мультифрактал, и для его характеристики, как отмечалось, необходим целый спектр обобщенных фрактальных размерностейчисло которых, в общем случае, бесконечно.

Так, например, при основной вклад в обобщенную статистическую сумму вносят ячейки, содержащие наибольшее число частиц в них и, следовательно, характеризующиеся наибольшей вероятностью их заполнения  Наоборот, приосновной вклад в сумму дают самые разреженные ячейки с малыми значениями чисел заполнения Таким образом, функция показывает, насколько неоднородным является исследуемое множество точек

В дальнейшем для характеристики распределения точек необходимо знать не только функцию но и ее производную

Эта призводная имеет важный физический смысл. Если она не остается постоянной и меняется с q, то это означает, что исследуемый объект  мультифрактал.

Фрактальная и информационная размерность

Выясним физический смысл обобщенных фрактальных размерностей для некоторых конкретных значений q.

Если, то  и

Сопоставляя эти два равенства, получим Это означает, что величина, называемая фрактальной размерностью, представляет собой обычную хаусдорфову размерность множества Она является наиболее грубой характеристикой мультифрактала и не несет информации о его статистических свойствах.

Определим смысл величины Поскольку при в силу условия нормировки вероятности статистическая сумма равна  

то Таким образом, имеем неопределенность в выражении для. Раскроем эту неопределенность с помощью равенства

                        

Устремляя раскладывая экспоненту и учитывая условие нормировки,  получим

       

В результате получим

 

С точностью до знака числитель в этой формуле представляет собой энтропию фрактального множества

Такое определение энтропии множества полностью идентично используемому в термодинамике, где подпонимается вероятность об-наружить систему в квантовом состоянии і. В результате величина обобщенной фрактальной размерностисвязана с энтропией соотношением

Прежде чем далее характеризовать эту величину, напомним, что в термодинамике энтропия есть мера беспорядка в системе. Простой пример, где молекулы газа, помещенные вначале в одну половину сосуда, заполняют весь сосуд, когда убирается перегородка, показывает, что в этом процессе беспорядок, а следовательно, энтропия возрастает. Этот рост беспорядка связан с ростом нашего незнания о состоянии системы, поскольку до удаления перегородки мы знали больше о расположении молекул.

Основываясь на подобных соображениях, Клод Шенон обобщил понятие энтропииизвестное в термодинамике, на абстрактные задачи теории передачи и обработки информации. Для этих задач энтропия стала мерой количества информации, необходимой для определения системы в некотором положении і. Другими словами, она является мерой нашего незнания о системе.

Поясним эти соображения на простом примере. Допустим, имеется ящик с двумя отделениями, в одном из которых находится точка. Однако мы не знаем, в каком. Спрашивается, сколько вопросов с ответом «да» или «нет » нужно задать, чтобы определить местоположение точки? Ответ очевиден – один вопрос. Эту информацию принимают за единицу и называют ее бит.

Для обнаружения точки в ящике с четырьмя возможными состояниями требуется уже два вопроса, и, соответственно, мера нашего незнания о системе равна двум битам. Эту информацию можно записать как логарифм по основанию два от числа возможных состояний системы

Теперь становится понятно, что справедливо логарифмическое соот-ношение между максимальным количеством информации I и числом состояний М  Так, например, чтобы определить положение точки на шахматной доске склетками, требуется 6 вопросов.

В предыдущем случае ящика с двумя состояниями количество ин-формации в один бит можно выразить также следующим образом

                                          

Учитывая, что – есть вероятность обнаружить систему в одном из ящиков, эту формулу можно переписать так  

В таком виде она справедлива и в случае ящика ссостояниями, где все вероятностиодинаковы.  Более того (и это как раз и составляет результат, полученный К. Шеноном), эта формула остается справедливой и в случае неравных вероятностейоднако ее нужно тогда понимать в смысле среднего значения по большому числу испытаний. Отсюда уже остается всего один шаг до соотношения между энтропиейи количеством информации

Возвращаясь к исходной задаче о распределении точек на фрактальном множествеможно сказать, что поскольку  то величина характеризует информацию, необходимую для определения местоположения точки в некоторой ячейке. В связи с этим обобщенную фрактальную размерность часто называют информационной размерностью. Она показывает, как информация, необходимая для определения местоположения точки, возрастает при стремлении размера ячейкик нулю.

Корреляционная размерность

Определим физический смысл обобщенной фрактальной размерности Для нее справедливо следующее выражение

 

Определим парный корреляционный интеграл

где суммирование проводится по всем парам точек нашего фрактального множества с радиус-векторами и ;– ступенчатая функция Хевисайда, если и, если

Сумма в выражении для D₂ определяет число пар точек (n, m), для которых расстояние между ними меньше, чем Поэтому, поделенная наона определяет вероятность того, что две наугад взятые точки разделены расстоянием меныиим, чем

Эту же вероятность можно определить и по-другому. Величина согласно своему определению, представляет собой вероятность попадания точки в і-ю ячейку с размером Следовательно, величи-напредставляет собой вероятность попадания в эту ячейку двух точек. Суммируя по всем занятым ячейкам, мы получаем вероятность того, что две произвольно выбранные точки из множества лежат внутри одной ячейки с размеромСледовательно, расстояние между этими точками будет меныие или порядкаТаким образом, с точностью до численных коэффициентов

Таким обазом, обобщенная размерность определяет зависимость корреляционного интегралаотв пределе По этой причине величинув литературе называют корреляционной размерностью.

Свойства функции D_q

          Мультифрактал характеризуется неоднородным распределением точек по ячейкам. Как известно из термодинамики, энтропия неоднородного распределения молекул газа в сосуде всегда меньше энтропии их однородного распределения (в том же сосуде), когда газ везде обладает одной и той же плотностью. Соответственно, если бы точки, составляющие мультифрактал, были бы распределены по нему равномерно по всем ячейкам с вероятностью энтропия такого распределения была бы максимальна и равна

Другими словами, она была бы больше фактической величины энтропии мультифрактала, рассчитанной для реального неоднородного распределения точек,Отсюда следует важный вывод, что информационная размерность мультифракталавсегда меньше или равна его хаусдорфовой размерности

          Это неравенство можно обобщить для произвольного показателя степении доказать, что обобщенная фрактальная размерность всегда монотонно убывает или остается постоянной с ростом q

Знак равенства имеет место, например, для однородного фрактала. Максимального значения величинадостигает при  , а минимальногопри

Неоднородное канторово множество

Рассмотрим простой пример, который позволит вычислить спектр обобщенных фрактальных размерностей аналитически и продемонстри ровать основные свойства функции Рассмотрим канторово множество исключенных средних третей. Пусть в начале процедуры (нулевой шаг) у нас имеется единичный отрезок, по которому как-то распределены N точек нашего фрактального множества. На первом шаге имеем 2 отрезка по краям первоначального единичного интервала, каждый из них длиной 1/3. Пусть наши исходные N точек распределены по ним теперь следующим образом. Левый отрезок заселен с вероятностью и имеетточек, а правый с вероятностью и на нем, соответственно, находитсяточек. Затем с каждым из этих отрезков поступаем аналогичным образом. В результате на втором шаге имеется 4 отрезка длиной 1/9, заселенных с вероятностью (слева направо) и т. д.(см. рисунок).

Повторяя эту процедуру некоторое число раз, приходим к следующей картине распределения точек. На шаге  n  множество состоит из отрезков

      

длиной, заселенных с вероятностями

.

     Видно, что число отрезков, характеризуемых вероятностью равно, т. е., числу сочетаний изэлементов поВ результате при и приходим к неоднородному фрактальному множеству.

На шаге процедуры обобщенная статистическая сумма мультифрактала имеет вид обычного бинома Ньютона

Поскольку на этом шаге размер ячейки то получим уравнение для спектра обобщенных фрактальных размерностей

 

Устремляяс учетом определениянаходим

Еслито имеем однородный фрактал, все обобщенные фрактальные размерностикоторого одинаковы и равны хаусдорфовой размерности исходного канторова множества исключенных средних третей

 

Если же то канторово множество является неоднородным. На следующем рисунке изображена зависимость для значения вероятности

Значение хаусдорфовой размерности совпадает в этом случае с размерностью однородного канторовского множества.

                       

Это естественно, так как множество расположено на фрактале с этим значением размерности. Этот фрактал в литературе имеет специальное название – носитель исходного мультифрактального множества. По этой причине величину часто называют размерностью носителя мультифрактала.

Раскроем неопределенность в формуле  Получим информационную размерность

                                 

Она, как и следовало ожидать, меньше размерности а корреляционная размерностьв свою очередь, меньше, чем. Таким образом, в этом случаеявляется монотонно убывающей функцией.

Предельных значений эта функция достигает, как мы говорили, при. Эти значенияиравны

          и         

Носитель мультифрактального множества может сам по себе и не являться фракталом. Например, если исходный единичный отрезок в предыдущем примере разделим на первом шаге на 2 равные части с длиной 1/2. Первой части припишем вероятность (меру) а второй Далее с каждым из двух образовавшихся отрезков поступим аналогичным образом и т. д. Нетрудно понять, что спектр обобщенных фрактальных размерностей будет определятся из выражения

                                              

Рекомендация для Вас - 5 Развитие патологических реакций на вакцинацию у детей.

В этом случае размерностьтак как теперь носителем нашего мультифрактала является весь единичный отрезок целиком, т. е., объект с пространственной размерностью равной единице. Все остальные обобщенные фрактальные размерности заключены в интервале между

 .  График функциив этом случае выглядит качественно так же, как показано на предыдущем рисунке.

В результате приходим к выводу, что набор различных значений функции представляют собой спектр  фрактальных размерностей однородных подмножествна которые можно разбить исходное множествоОтсюда становится понятным термин мультифрактал. Его можно понимать как некое объедине-ние различных однородных фрактальных подмножеств, исходного множествакаждое из которых имеет свое собственное значение фрактальной размерности

Поскольку любому подмножеству принадлежит лишь часть от общего числа ячеек на которые разбито исходное множествоусловие нормировки вероятностей, очевидно, не выполняется при суммировании только по этому подмножеству. Сумма этих вероятностей оказывается меньше единицы. Поэтому и сами вероятностис одним и тем же значениемочевидно меньше (или в крайнем случае одного порядка), чем величина, которая обратно пропорциональна числу имеющихся ячеек, покрывающих данное подмножество (напомним, что в случае монофрактала).

Таким образом, при всех значениях Знак равенства имеет место, например, для полностью однородного фрактала, где Это свойство тесно связано со свойством функции которая либо монотонно убывает, либо остается постоянной при увеличении